ГДЗ 10-11 Класс Номер 36.7 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Внесите множитель под знак корня:

а) $2\sqrt{5}$

б) $6\sqrt[3]{1\frac{1}{9}}$

в) $5\sqrt{3}$

г)

Внести множитель под знак корня:

а) $2\sqrt{5} = \sqrt{2^2 \cdot 5} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{20}$;
Ответ: $\sqrt{20}$.

б) $6\sqrt[3]{1\frac{1}{9}} = \sqrt[3]{6^3 \cdot \frac{1 \cdot 9 + 1}{9}} = \sqrt[3]{\frac{216 \cdot 10}{9}} = \sqrt[3]{24 \cdot 10} = \sqrt[3]{240}$;
Ответ: $\sqrt[3]{240}$.

в) $5\sqrt{3} = \sqrt{5^2 \cdot 3} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{75}$;
Ответ: $\sqrt{75}$.

г) $3\sqrt[4]{2\frac{5}{27}} = \sqrt[4]{3^4 \cdot \frac{2 \cdot 27 + 5}{27}} = \sqrt[4]{\frac{81 \cdot 59}{27}} = \sqrt[4]{3 \cdot 59} = \sqrt[4]{177}$;
Ответ: $\sqrt[4]{177}$.

а) $2\sqrt{5}$

Исходное выражение:
$2\sqrt{5}$.

Множим число 2 на выражение под корнем:
Мы можем переписать число 2 как $2 = \sqrt{2^2}$. Это позволит внести множитель под корень:

$$2\sqrt{5} = \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{5}.$$

Используем свойство корня:
Из свойства корня, что $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$, мы можем объединить оба корня в один:

$$2\sqrt{5} = \sqrt{2^2 \cdot 5}.$$

Выполняем умножение под корнем:
Теперь считаем произведение:

$$2^2 \cdot 5 = 4 \cdot 5 = 20.$$

Получаем окончательное выражение:
Таким образом, выражение $2\sqrt{5}$ преобразуется в:

$$2\sqrt{5} = \sqrt{20}.$$

Ответ: $\sqrt{20}$.

б) $6\sqrt[3]{1\frac{1}{9}}$

Исходное выражение:
$6\sqrt[3]{1\frac{1}{9}}$.

Приводим смешанное число к неправильной дроби:
Сначала преобразуем $1\frac{1}{9}$ в неправильную дробь:

$$1\frac{1}{9} = \frac{9 + 1}{9} = \frac{10}{9}.$$

Таким образом, выражение теперь выглядит так:

$$6\sqrt[3]{\frac{10}{9}}.$$

Множим число 6 на корень:
Мы можем записать число 6 как $6 = \sqrt[3]{6^3}$, чтобы объединить множитель под корень:

$$6\sqrt[3]{\frac{10}{9}} = \sqrt[3]{6^3} \cdot \sqrt[3]{\frac{10}{9}}.$$

Используем свойство корня:
Из свойства кубического корня, что $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{a \cdot b}$, объединяем оба кубических корня в один:

$$6\sqrt[3]{\frac{10}{9}} = \sqrt[3]{6^3 \cdot \frac{10}{9}}.$$

Выполняем умножение под корнем:
Теперь считаем произведение:

$$6^3 = 216, \quad \frac{10}{9} = \frac{10}{9}, \quad 216 \cdot \frac{10}{9} = \frac{2160}{9} = 240.$$

Получаем окончательное выражение:
Таким образом, выражение $6\sqrt[3]{\frac{10}{9}}$ преобразуется в:

$$6\sqrt[3]{\frac{10}{9}} = \sqrt[3]{240}.$$

Ответ: $\sqrt[3]{240}$.

в) $5\sqrt{3}$

Исходное выражение:
$5\sqrt{3}$.

Множим число 5 на корень:
Запишем число 5 как $5 = \sqrt{5^2}$, чтобы объединить множитель под корень:

$$5\sqrt{3} = \sqrt{5^2} \cdot \sqrt{3}.$$

Используем свойство корня:
Из свойства корня, что $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$, объединяем оба корня в один:

$$5\sqrt{3} = \sqrt{5^2 \cdot 3}.$$

Выполняем умножение под корнем:
Теперь считаем произведение:

$$5^2 \cdot 3 = 25 \cdot 3 = 75.$$

Получаем окончательное выражение:
Таким образом, выражение $5\sqrt{3}$ преобразуется в:

$$5\sqrt{3} = \sqrt{75}.$$

Ответ: $\sqrt{75}$.

г) $3\sqrt[4]{2\frac{5}{27}}$

Исходное выражение:
$3\sqrt[4]{2\frac{5}{27}}$.

Приводим смешанное число к неправильной дроби:
Преобразуем $2\frac{5}{27}$ в неправильную дробь:

$$2\frac{5}{27} = \frac{2 \cdot 27 + 5}{27} = \frac{54 + 5}{27} = \frac{59}{27}.$$

Таким образом, выражение теперь выглядит так:

$$3\sqrt[4]{\frac{59}{27}}.$$

Множим число 3 на корень:
Запишем число 3 как $3 = \sqrt[4]{3^4}$, чтобы объединить множитель под корень:

$$3\sqrt[4]{\frac{59}{27}} = \sqrt[4]{3^4} \cdot \sqrt[4]{\frac{59}{27}}.$$

Используем свойство корня:
Из свойства четвертичного корня, что $\sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[4]{b} = \sqrt[4]{a \cdot b}$, объединяем оба четвертичных корня в один:

$$3\sqrt[4]{\frac{59}{27}} = \sqrt[4]{3^4 \cdot \frac{59}{27}}.$$

Выполняем умножение под корнем:
Теперь считаем произведение:

$$3^4 = 81, \quad \frac{59}{27} = \frac{59}{27}, \quad 81 \cdot \frac{59}{27} = \frac{81 \cdot 59}{27} = \frac{4779}{27} = 177.$$

Получаем окончательное выражение:
Таким образом, выражение $3\sqrt[4]{\frac{59}{27}}$ преобразуется в:

$$3\sqrt[4]{\frac{59}{27}} = \sqrt[4]{177}.$$

Ответ: $\sqrt[4]{177}$.