ГДЗ 10-11 Класс Номер 36.8 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Внести множитель под знак корня:

а) $\frac{2}{3}\sqrt{3}$

б) $\frac{1}{2}\sqrt[3]{12}$

в) $1\frac{2}{5}\sqrt{3\frac{4}{7}}$

г) $0,2\sqrt[3]{25}$

Внести множитель под знак корня:

а) $\frac{2}{3}\sqrt{3} = \sqrt{\left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot 3} = \sqrt{\frac{4}{9} \cdot 3} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \sqrt{1\frac{1}{3}}$;
Ответ: $\sqrt{1\frac{1}{3}}$.

б) $\frac{1}{2}\sqrt[3]{12} = \sqrt[3]{\left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot 12} = \sqrt[3]{\frac{1}{8} \cdot 12} = \sqrt[3]{\frac{3}{2}} = \sqrt[3]{1,5}$;
Ответ: $\sqrt[3]{1,5}$.

в) $1\frac{2}{5}\sqrt{3\frac{4}{7}} = \frac{1 \cdot 5 + 2}{5} \sqrt{\frac{3 \cdot 7 + 4}{7}} = \frac{7}{5} \sqrt{\frac{25}{7}} = \sqrt{\left(\frac{7}{5}\right)^2 \cdot \frac{25}{7}} = \sqrt{\frac{49}{25} \cdot \frac{25}{7}} = \sqrt{7}$;
Ответ: $\sqrt{7}$.

г) $0,2\sqrt[3]{25} = \frac{1}{5}\sqrt[3]{25} = \sqrt[3]{\frac{25}{5^3}} = \sqrt[3]{\frac{25}{125}} = \sqrt[3]{\frac{1}{5}} = \sqrt[3]{0,2}$;
Ответ: $\sqrt[3]{0,2}$.

а) $\frac{2}{3}\sqrt{3}$

Исходное выражение:

$$\frac{2}{3}\sqrt{3}.$$

Записываем число $\frac{2}{3}$ через квадратный корень:
Мы можем переписать число $\frac{2}{3}$ как $\frac{2}{3} = \sqrt{\left(\frac{2}{3}\right)^2}$, чтобы объединить его с корнем:

$$\frac{2}{3}\sqrt{3} = \sqrt{\left(\frac{2}{3}\right)^2} \cdot \sqrt{3}.$$

Используем свойство корней:
Из свойства корня, что $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$, объединяем оба корня в один:

$$\frac{2}{3}\sqrt{3} = \sqrt{\left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot 3}.$$

Выполняем умножение под корнем:
Теперь считаем произведение:

$$\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}, \quad 3 = \frac{27}{9}, \quad \frac{4}{9} \cdot 3 = \frac{4}{9} \cdot \frac{27}{9} = \frac{4 \cdot 27}{9 \cdot 9} = \frac{108}{81} = \frac{4}{3}.$$

Преобразуем результат в смешанное число:
Поскольку $\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$, получаем:

$$\frac{2}{3}\sqrt{3} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \sqrt{1\frac{1}{3}}.$$

Ответ: $\sqrt{1\frac{1}{3}}$.

б) $\frac{1}{2}\sqrt[3]{12}$

Исходное выражение:

$$\frac{1}{2}\sqrt[3]{12}.$$

Записываем число $\frac{1}{2}$ через кубический корень:
Мы можем переписать число $\frac{1}{2}$ как $\frac{1}{2} = \sqrt[3]{\left(\frac{1}{2}\right)^3}$, чтобы объединить его с кубическим корнем:

$$\frac{1}{2}\sqrt[3]{12} = \sqrt[3]{\left(\frac{1}{2}\right)^3} \cdot \sqrt[3]{12}.$$

Используем свойство кубических корней:
Из свойства кубических корней, что $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{a \cdot b}$, объединяем оба корня в один:

$$\frac{1}{2}\sqrt[3]{12} = \sqrt[3]{\left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot 12}.$$

Выполняем умножение под корнем:
Теперь считаем произведение:

$$\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}, \quad 12 = \frac{96}{8}, \quad \frac{1}{8} \cdot 12 = \frac{1}{8} \cdot \frac{96}{8} = \frac{96}{64} = \frac{3}{2}.$$

Получаем окончательное выражение:
Таким образом, выражение $\frac{1}{2}\sqrt[3]{12}$ преобразуется в:

$$\frac{1}{2}\sqrt[3]{12} = \sqrt[3]{\frac{3}{2}} = \sqrt[3]{1,5}.$$

Ответ: $\sqrt[3]{1,5}$.

в) $1\frac{2}{5}\sqrt{3\frac{4}{7}}$

Исходное выражение:

$$1\frac{2}{5}\sqrt{3\frac{4}{7}}.$$

Переводим смешанное число в неправильную дробь:
Для удобства преобразуем $1\frac{2}{5}$ в неправильную дробь:

$$1\frac{2}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{7}{5}.$$

Таким образом, выражение становится:

$$\frac{7}{5} \sqrt{3\frac{4}{7}}.$$

Переводим смешанное число $3\frac{4}{7}$ в неправильную дробь:
Преобразуем $3\frac{4}{7}$ в неправильную дробь:

$$3\frac{4}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{21 + 4}{7} = \frac{25}{7}.$$

Теперь выражение выглядит так:

$$\frac{7}{5} \sqrt{\frac{25}{7}}.$$

Используем свойство корней:
Теперь записываем это как произведение:

$$\frac{7}{5} \sqrt{\frac{25}{7}} = \sqrt{\left(\frac{7}{5}\right)^2 \cdot \frac{25}{7}}.$$

Выполняем умножение под корнем:
Считаем произведение:

$$\left(\frac{7}{5}\right)^2 = \frac{49}{25}, \quad \frac{49}{25} \cdot \frac{25}{7} = \frac{49 \cdot 25}{25 \cdot 7} = \frac{49}{7} = 7.$$

Получаем окончательное выражение:
Таким образом, выражение $1\frac{2}{5}\sqrt{3\frac{4}{7}}$ преобразуется в:

$$\frac{7}{5} \sqrt{\frac{25}{7}} = \sqrt{7}.$$

Ответ: $\sqrt{7}$.

г) $0,2\sqrt[3]{25}$

Исходное выражение:

$$0,2\sqrt[3]{25}.$$

Записываем число $0,2$ как $\frac{1}{5}$:
Мы можем переписать число $0,2$ как $\frac{1}{5}$, чтобы объединить его с кубическим корнем:

$$0,2\sqrt[3]{25} = \frac{1}{5} \sqrt[3]{25}.$$

Используем свойство кубических корней:
Мы можем записать $\frac{1}{5}$ как $\frac{1}{5} = \sqrt[3]{\left(\frac{1}{5}\right)^3}$, и объединить множители под корень:

$$\frac{1}{5} \sqrt[3]{25} = \sqrt[3]{\frac{25}{5^3}}.$$

Выполняем вычисления под корнем:
Теперь считаем:

$$5^3 = 125, \quad \frac{25}{125} = \frac{1}{5}.$$

Получаем окончательное выражение:
Таким образом, выражение $0,2\sqrt[3]{25}$ преобразуется в:

$$\sqrt[3]{\frac{1}{5}} = \sqrt[3]{0,2}.$$

Ответ: $\sqrt[3]{0,2}$.