ГДЗ 10-11 Класс Номер 37.16 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Упростить выражение:

а) $x^{\frac{1}{2}} : x^{\frac{3}{2}} = x^{\frac{1}{2} — \frac{3}{2}} = x^{-\frac{2}{2}} = x^{-1} = \frac{1}{x}$;

Ответ: $\frac{1}{x}$.

б) $y^{-\frac{5}{6}} : y^{\frac{1}{3}} = y^{-\frac{5}{6} — \frac{1}{3}} = y^{\frac{-5-2}{6}} = y^{-\frac{7}{6}} = \frac{1}{y^{\frac{7}{6}}} = \frac{1}{\sqrt[6]{y^7}}$;

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[6]{y^7}}$.

в) $z^{\frac{1}{5}} : z^{-\frac{1}{2}} = z^{\frac{1}{5} — (-\frac{1}{2})} = z^{\frac{2+5}{10}} = z^{\frac{7}{10}} = \sqrt[10]{z^7}$;

Ответ: $\sqrt[10]{z^7}$.

г) $m^{\frac{1}{3}} : m^2 = m^{\frac{1}{3} — 2} = m^{\frac{1-2\cdot3}{3}} = m^{-\frac{5}{3}} = \frac{1}{m^{\frac{5}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{m^5}}$;

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[3]{m^5}}$.

а) $x^{\frac{1}{2}} : x^{\frac{3}{2}}$

Шаг 1: Правило деления степеней с одинаковым основанием

Когда мы делим два числа с одинаковым основанием, степени вычитаются. Это следует из свойства степеней:

$$a^m : a^n = a^{m-n}$$

В нашем случае основание — это $x$, а степени $\frac{1}{2}$ и $\frac{3}{2}$.

Шаг 2: Применение правила вычитания степеней

Используем правило для деления:

$$x^{\frac{1}{2}} : x^{\frac{3}{2}} = x^{\frac{1}{2} — \frac{3}{2}}$$

Шаг 3: Вычитание дробей

Теперь вычитаем дроби $\frac{1}{2}$ и $\frac{3}{2}$. Чтобы выполнить вычитание, просто вычитаем числители, так как знаменатели одинаковые:

$$\frac{1}{2} — \frac{3}{2} = \frac{1 — 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

Таким образом, степень будет равна $-1$.

Шаг 4: Записываем итоговое выражение

Теперь подставляем полученную степень:

$$x^{\frac{1}{2}} : x^{\frac{3}{2}} = x^{-1}$$

Шаг 5: Преобразование в дробь

Степень $-1$ можно записать как дробь:

$$x^{-1} = \frac{1}{x}$$

Ответ: $\frac{1}{x}$

б) $y^{-\frac{5}{6}} : y^{\frac{1}{3}}$

Шаг 1: Применяем правило деления степеней

По правилу деления степеней с одинаковым основанием, степени вычитаются:

$$y^{-\frac{5}{6}} : y^{\frac{1}{3}} = y^{-\frac{5}{6} — \frac{1}{3}}$$

Шаг 2: Преобразуем дроби к общему знаменателю

Чтобы вычесть дроби $-\frac{5}{6}$ и $\frac{1}{3}$, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 6 и 3 — это 6. Преобразуем дробь $\frac{1}{3}$:

$$\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$$

Теперь выполняем вычитание:

$$-\frac{5}{6} — \frac{2}{6} = \frac{-5 — 2}{6} = \frac{-7}{6}$$

Шаг 3: Записываем итоговое выражение

Теперь подставляем полученную степень:

$$y^{-\frac{5}{6} — \frac{1}{3}} = y^{-\frac{7}{6}}$$

Шаг 4: Преобразование в дробь

Степень $-\frac{7}{6}$ можно записать как дробь:

$$y^{-\frac{7}{6}} = \frac{1}{y^{\frac{7}{6}}}$$

Шаг 5: Преобразование в корень

Теперь можем записать степень $\frac{7}{6}$ как корень:

$$y^{\frac{7}{6}} = \sqrt[6]{y^7}$$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[6]{y^7}}$

в) $z^{\frac{1}{5}} : z^{-\frac{1}{2}}$

Шаг 1: Применяем правило деления степеней

По правилу деления степеней с одинаковым основанием, степени вычитаются:

$$z^{\frac{1}{5}} : z^{-\frac{1}{2}} = z^{\frac{1}{5} — (-\frac{1}{2})}$$

Шаг 2: Учет знаков

Минус в степени $-\frac{1}{2}$ превращается в сложение:

$$z^{\frac{1}{5} — (-\frac{1}{2})} = z^{\frac{1}{5} + \frac{1}{2}}$$

Шаг 3: Приводим дроби к общему знаменателю

Теперь сложим дроби $\frac{1}{5}$ и $\frac{1}{2}$. Общий знаменатель для 5 и 2 — это 10. Преобразуем дроби:

$$\frac{1}{5} = \frac{2}{10}, \quad \frac{1}{2} = \frac{5}{10}$$

Теперь складываем дроби:

$$\frac{2}{10} + \frac{5}{10} = \frac{7}{10}$$

Шаг 4: Записываем итоговое выражение

Теперь подставляем полученную степень:

$$z^{\frac{1}{5}} : z^{-\frac{1}{2}} = z^{\frac{7}{10}}$$

Шаг 5: Преобразование в корень

Степень $\frac{7}{10}$ можно записать как корень:

$$z^{\frac{7}{10}} = \sqrt[10]{z^7}$$

Ответ: $\sqrt[10]{z^7}$

г) $m^{\frac{1}{3}} : m^2$

Шаг 1: Применяем правило деления степеней

По правилу деления степеней с одинаковым основанием, степени вычитаются:

$$m^{\frac{1}{3}} : m^2 = m^{\frac{1}{3} — 2}$$

Шаг 2: Преобразуем 2 в дробь

Чтобы вычесть дроби, нужно представить 2 как $\frac{6}{3}$:

$$m^{\frac{1}{3} — 2} = m^{\frac{1}{3} — \frac{6}{3}} = m^{\frac{1 — 6}{3}} = m^{-\frac{5}{3}}$$

Шаг 3: Записываем итоговое выражение

Теперь степень $-\frac{5}{3}$ можно записать как дробь:

$$m^{-\frac{5}{3}} = \frac{1}{m^{\frac{5}{3}}}$$

Шаг 4: Преобразование в корень

Степень $\frac{5}{3}$ можно записать как корень:

$$m^{\frac{5}{3}} = \sqrt[3]{m^5}$$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[3]{m^5}}$

Итоговые ответы:

а) $\frac{1}{x}$

б) $\frac{1}{\sqrt[6]{y^7}}$

в) $\sqrt[10]{z^7}$

г) $\frac{1}{\sqrt[3]{m^5}}$