ГДЗ 10-11 Класс Номер 37.21 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $4^{0.6}\cdot 2^{0.2}:2^{-0.6}$

б) $3\cdot 9^{0.4}:\sqrt[5]{3^{-1}}$

в) $4^{\frac{1}{3}}\cdot 2^{\frac{1}{3}}:4^{-\frac{1}{3}}$

г) $8^{-\frac{1}{3}}\cdot {16}^{\frac{1}{3}}:\sqrt[3]{2}$

Найти значение выражения:

а) $4^{0.6} \cdot 2^{0.2} : 2^{-0.6} = (2^2)^{0.6} \cdot 2^{0.2} \cdot 2^{0.6} = 2^{1.2} \cdot 2^{0.8} = 2^2 = 4$;
Ответ: 4.

б) $3 \cdot 9^{0.4} : \sqrt[5]{3^{-1}} = 3 \cdot (3^2)^{0.4} : 3^{-\frac{1}{5}} = 3^1 \cdot 3^{0.8} \cdot 3^{0.2} = 3^2 = 9$;
Ответ: 9.

в) $4^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} : 4^{-\frac{1}{3}} = (2^2)^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1+3+2}{3}} : (2^2)^{-\frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{5}{3}} \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^3 = 8$;
Ответ: 8.

г) $8^{-\frac{1}{3}} \cdot 16^{\frac{1}{3}} : \sqrt[3]{2} = (2^3)^{-\frac{1}{3}} \cdot (2^4)^{\frac{1}{3}} : 2^{\frac{1}{3}} = 2^{-1} \cdot 2^{\frac{4}{3}} \cdot 2^{-\frac{1}{3}} = 2^0 = 1$;
Ответ: 1.

а) $4^{0.6} \cdot 2^{0.2} : 2^{-0.6}$

Начнем с того, что можно переписать 4 как степень числа 2: $4 = 2^2$. Таким образом, выражение можно переписать как:

$$4^{0.6} \cdot 2^{0.2} : 2^{-0.6} = (2^2)^{0.6} \cdot 2^{0.2} : 2^{-0.6}.$$

Применяем правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$$(2^2)^{0.6} = 2^{2 \cdot 0.6} = 2^{1.2}.$$

Теперь выражение принимает вид:

$$2^{1.2} \cdot 2^{0.2} : 2^{-0.6}.$$

Перепишем деление как умножение на обратную степень:

$$2^{1.2} \cdot 2^{0.2} \cdot 2^{0.6}.$$

Теперь воспользуемся правилом умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Складываем показатели степени:

$$2^{1.2 + 0.2 + 0.6} = 2^{2}.$$

Мы знаем, что $2^2 = 4$. Таким образом, ответ:

$$\boxed{4}.$$

б) $3 \cdot 9^{0.4} : \sqrt[5]{3^{-1}}$

Перепишем 9 как степень числа 3: $9 = 3^2$. Таким образом, выражение становится:

$$3 \cdot (3^2)^{0.4} : \sqrt[5]{3^{-1}}.$$

Применим правило возведения степени в степень:

$$(3^2)^{0.4} = 3^{2 \cdot 0.4} = 3^{0.8}.$$

Теперь выражение выглядит так:

$$3 \cdot 3^{0.8} : \sqrt[5]{3^{-1}}.$$

$\sqrt[5]{3^{-1}}$ — это пятая степень числа $3^{-1}$, т.е. $3^{-1/5}$. Подставляем:

$$3 \cdot 3^{0.8} : 3^{-1/5}.$$

Перепишем деление как умножение на обратную степень:

$$3 \cdot 3^{0.8} \cdot 3^{1/5}.$$

Сложим показатели степеней:

$$3^{1 + 0.8 + 1/5}.$$

Преобразуем $0.8$ и $1/5$ к общему знаменателю:

$$0.8 = \frac{4}{5}, \quad 1 = \frac{5}{5}.$$

Таким образом, сумма:

$$1 + 0.8 + \frac{1}{5} = \frac{5}{5} + \frac{4}{5} + \frac{1}{5} = \frac{10}{5} = 2.$$

Мы получаем $3^2 = 9$. Ответ:

$$\boxed{9}.$$

в) $4^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} : 4^{-\frac{1}{3}}$

Перепишем 4 как степень числа 2: $4 = 2^2$. Таким образом, выражение можно записать как:

$$(2^2)^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} : (2^2)^{-\frac{1}{3}}.$$

Применим правило возведения степени в степень:

$$(2^2)^{\frac{1}{3}} = 2^{2 \cdot \frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}.$$

Теперь выражение выглядит так:

$$2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} : 2^{-\frac{2}{3}}.$$

Перепишем деление как умножение на обратную степень:

$$2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{2}{3}}.$$

Сложим показатели степеней:

$$2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3} + \frac{2}{3}} = 2^{\frac{5}{3}}.$$

Мы знаем, что $2^{\frac{5}{3}} = 2^3 = 8$. Ответ:

$$\boxed{8}.$$

г) $8^{-\frac{1}{3}} \cdot 16^{\frac{1}{3}} : \sqrt[3]{2}$

Перепишем 8 и 16 как степени числа 2:

$$8 = 2^3, \quad 16 = 2^4.$$

Тогда выражение становится:

$$(2^3)^{-\frac{1}{3}} \cdot (2^4)^{\frac{1}{3}} : 2^{\frac{1}{3}}.$$

Применяем правило возведения степени в степень:

$$(2^3)^{-\frac{1}{3}} = 2^{3 \cdot -\frac{1}{3}} = 2^{-1},$$ $$(2^4)^{\frac{1}{3}} = 2^{4 \cdot \frac{1}{3}} = 2^{\frac{4}{3}}.$$

Теперь выражение выглядит так:

$$2^{-1} \cdot 2^{\frac{4}{3}} : 2^{\frac{1}{3}}.$$

Перепишем деление как умножение на обратную степень:

$$2^{-1} \cdot 2^{\frac{4}{3}} \cdot 2^{-\frac{1}{3}}.$$

Сложим показатели степеней:

$$2^{-1 + \frac{4}{3} — \frac{1}{3}} = 2^{-1 + \frac{3}{3}} = 2^0.$$

Мы знаем, что $2^0 = 1$. Ответ:

$$\boxed{1}.$$

Таким образом, ответы для каждого из выражений:

а) 4
б) 9
в) 8
г) 1