ГДЗ 10-11 Класс Номер 37.22 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти значение выражения:

а) $(27 \cdot 64)^{\frac{1}{3}} = 27^{\frac{1}{3}} \cdot 64^{\frac{1}{3}} = (3^3)^{\frac{1}{3}} \cdot (4^3)^{\frac{1}{3}} = 3 \cdot 4 = 12$;
Ответ: 12.

б) $\left(\frac{1}{16} \cdot 81^{-1}\right)^{-\frac{1}{4}} = (16^{-1})^{-\frac{1}{4}} \cdot (81^{-1})^{-\frac{1}{4}} = (2^4)^{\frac{1}{4}} \cdot (3^4)^{\frac{1}{4}} = 2 \cdot 3 = 6$;
Ответ: 6.

в) $\left(\frac{1}{36} \cdot 0,04\right)^{-\frac{1}{2}} = \left(\frac{1}{36} \cdot \frac{1}{25}\right)^{-\frac{1}{2}} = (36 \cdot 25)^{\frac{1}{2}} = (6^2)^{\frac{1}{2}} \cdot (5^2)^{\frac{1}{2}} = 6 \cdot 5 = 30$;
Ответ: 30.

г) $\left(5^{-3} \cdot \frac{1}{64}\right)^{-\frac{1}{3}} = \left(\frac{1}{5^3} \cdot \frac{1}{4^3}\right)^{-\frac{1}{3}} = (5^{-3})^{-\frac{1}{3}} \cdot (4^{-3})^{-\frac{1}{3}} = 5 \cdot 4 = 20$;
Ответ: 20.

а) $(27 \cdot 64)^{\frac{1}{3}}$

Раскроем выражение в скобках:

$$27 \cdot 64 = 1728.$$

Таким образом, выражение принимает вид:

$$1728^{\frac{1}{3}}.$$

Далее, возьмем кубический корень из 1728:

$$1728^{\frac{1}{3}} = 12,$$

так как $12^3 = 1728$.

Можно также решить это с использованием степеней:

$$27 = 3^3, \quad 64 = 4^3.$$

Тогда:

$$(27 \cdot 64)^{\frac{1}{3}} = (3^3 \cdot 4^3)^{\frac{1}{3}}.$$

Применим правило умножения степеней с одинаковым основанием $(a^m \cdot b^m)^{n} = a^{m \cdot n} \cdot b^{m \cdot n}$:

$$(3^3 \cdot 4^3)^{\frac{1}{3}} = 3^{3 \cdot \frac{1}{3}} \cdot 4^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 3 \cdot 4 = 12.$$

Ответ: $\boxed{12}$.

б) $\left( \frac{1}{16} \cdot 81^{-1} \right)^{-\frac{1}{4}}$

Перепишем выражение:

$$\left( \frac{1}{16} \cdot 81^{-1} \right)^{-\frac{1}{4}} = \left( 16^{-1} \cdot 81^{-1} \right)^{-\frac{1}{4}}.$$

Распишем числа 16 и 81 как степени:

$$16 = 2^4, \quad 81 = 3^4.$$

Подставим в выражение:

$$\left( (2^4)^{-1} \cdot (3^4)^{-1} \right)^{-\frac{1}{4}}.$$

Применяем правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$$(2^4)^{-1} = 2^{-4}, \quad (3^4)^{-1} = 3^{-4}.$$

Таким образом, выражение становится:

$$\left( 2^{-4} \cdot 3^{-4} \right)^{-\frac{1}{4}}.$$

Применим правило возведения произведения в степень $(a \cdot b)^m = a^m \cdot b^m$:

$$\left( 2^{-4} \cdot 3^{-4} \right)^{-\frac{1}{4}} = 2^{-4 \cdot (-\frac{1}{4})} \cdot 3^{-4 \cdot (-\frac{1}{4})} = 2^1 \cdot 3^1 = 2 \cdot 3 = 6.$$

Ответ: $\boxed{6}$.

в) $\left( \frac{1}{36} \cdot 0,04 \right)^{-\frac{1}{2}}$

Перепишем 0,04 как дробь:

$$0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}.$$

Таким образом, выражение становится:

$$\left( \frac{1}{36} \cdot \frac{1}{25} \right)^{-\frac{1}{2}} = \left( \frac{1}{36 \cdot 25} \right)^{-\frac{1}{2}}.$$

Теперь умножим 36 и 25:

$$36 \cdot 25 = 900.$$

Таким образом, выражение принимает вид:

$$\left( \frac{1}{900} \right)^{-\frac{1}{2}}.$$

По правилу степени с отрицательным показателем $\left( \frac{1}{a} \right)^{-m} = a^m$, получаем:

$$\left( \frac{1}{900} \right)^{-\frac{1}{2}} = 900^{\frac{1}{2}}.$$

Взяв квадратный корень из 900, получаем:

$$900^{\frac{1}{2}} = 30.$$

Ответ: $\boxed{30}$.

г) $\left( 5^{-3} \cdot \frac{1}{64} \right)^{-\frac{1}{3}}$

Перепишем 64 как степень числа 4:

$$64 = 4^3.$$

Таким образом, выражение становится:

$$\left( 5^{-3} \cdot (4^3)^{-1} \right)^{-\frac{1}{3}}.$$

Применим правило возведения степени в степень:

$$(4^3)^{-1} = 4^{-3}.$$

Теперь выражение принимает вид:

$$\left( 5^{-3} \cdot 4^{-3} \right)^{-\frac{1}{3}}.$$

Применяем правило возведения произведения в степень:

$$\left( 5^{-3} \cdot 4^{-3} \right)^{-\frac{1}{3}} = 5^{-3 \cdot (-\frac{1}{3})} \cdot 4^{-3 \cdot (-\frac{1}{3})} = 5^1 \cdot 4^1 = 5 \cdot 4 = 20.$$

Ответ: $\boxed{20}$.

Итоги:

а) $12$
б) $6$
в) $30$
г) $20$