ГДЗ 10-11 Класс Номер 37.27 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Раскрыть скобки:

а) $\left(x^{\frac{1}{3}} + 3\right)\left(x^{\frac{1}{3}} — 3\right) = x^{\frac{2}{3}} — 3^2 = \sqrt[3]{x^2} — 9$;

б) $\left(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\right)\left(a — a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b\right) = a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}} = \sqrt{a^3} + \sqrt{b^3}$;

в) $\left(d^{\frac{1}{2}} — 1\right)\left(d^{\frac{1}{2}} + 1\right) = d^{\frac{2}{2}} — 1^2 = d — 1$;

г) $\left(p^{\frac{1}{3}} — q^{\frac{1}{3}}\right)\left(p^{\frac{2}{3}} + (pq)^{\frac{1}{3}} + q^{\frac{2}{3}}\right) = p^{\frac{3}{3}} — q^{\frac{3}{3}} = p — q$.

а) $\left(x^{\frac{1}{3}} + 3\right)\left(x^{\frac{1}{3}} — 3\right)$

Используем формулу разности квадратов:
Для выражения вида $(a + b)(a — b)$ существует известная формула, которая называется формулой разности квадратов:

$$(a + b)(a — b) = a^2 — b^2.$$

В нашем случае $a = x^{\frac{1}{3}}$ и $b = 3$.

Применяем формулу разности квадратов:

$$\left(x^{\frac{1}{3}} + 3\right)\left(x^{\frac{1}{3}} — 3\right) = \left(x^{\frac{1}{3}}\right)^2 — 3^2.$$

Вычисляем каждую часть:

• $\left(x^{\frac{1}{3}}\right)^2 = x^{\frac{2}{3}}$ (потому что $(x^a)^b = x^{a \cdot b}$),
• $3^2 = 9$.

Получаем результат:

$$x^{\frac{2}{3}} — 9.$$

Мы можем записать это как:

$$\sqrt[3]{x^2} — 9.$$

Ответ: $\boxed{\sqrt[3]{x^2} — 9}$.

б) $\left(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\right)\left(a — a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b\right)$

Применяем распределительное свойство:
Чтобы раскрыть скобки, применим распределительное свойство:

$$\left(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\right)\left(a — a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b\right) = a^{\frac{1}{2}} \cdot \left(a — a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b\right) + b^{\frac{1}{2}} \cdot \left(a — a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b\right).$$

Распределяем каждую часть:

• $a^{\frac{1}{2}} \cdot a = a^{\frac{1}{2}} \cdot a^1 = a^{\frac{3}{2}}$,
• $a^{\frac{1}{2}} \cdot \left( — a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} \right) = — a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{1}{2}} = — a^1 \cdot b^{\frac{1}{2}} = — ab^{\frac{1}{2}}$,
• $a^{\frac{1}{2}} \cdot b = a^{\frac{1}{2}} \cdot b^1 = a^{\frac{1}{2}} \cdot b$,

и для второй части:

• $b^{\frac{1}{2}} \cdot a = b^{\frac{1}{2}} \cdot a^1 = b^{\frac{1}{2}} \cdot a$,
• $b^{\frac{1}{2}} \cdot \left( — a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} \right) = — b^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{1}{2}} = — a^{\frac{1}{2}} \cdot b^1 = — a^{\frac{1}{2}}b$,
• $b^{\frac{1}{2}} \cdot b = b^{\frac{1}{2}} \cdot b^1 = b^{\frac{3}{2}}$.

Собираем все слагаемые:

$$a^{\frac{3}{2}} — ab^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}}b + b^{\frac{3}{2}}.$$

Приводим к более компактному виду:
Это выражение может быть записано как:

$$a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}}.$$

Мы можем записать это как:

$$\sqrt{a^3} + \sqrt{b^3}.$$

Ответ: $\boxed{\sqrt{a^3} + \sqrt{b^3}}$.

в) $\left(d^{\frac{1}{2}} — 1\right)\left(d^{\frac{1}{2}} + 1\right)$

Используем формулу разности квадратов:
Так как это выражение имеет вид $(a — b)(a + b)$, где $a = d^{\frac{1}{2}}$ и $b = 1$, мы применяем формулу разности квадратов:

$$(a — b)(a + b) = a^2 — b^2.$$

Применяем эту формулу:

$$\left(d^{\frac{1}{2}} — 1\right)\left(d^{\frac{1}{2}} + 1\right) = \left(d^{\frac{1}{2}}\right)^2 — 1^2.$$

Вычисляем каждую часть:

• $\left(d^{\frac{1}{2}}\right)^2 = d$,
• $1^2 = 1$.

Получаем результат:

$$d — 1.$$

Ответ: $\boxed{d — 1}$.

г) $\left(p^{\frac{1}{3}} — q^{\frac{1}{3}}\right)\left(p^{\frac{2}{3}} + (pq)^{\frac{1}{3}} + q^{\frac{2}{3}}\right)$

Используем формулу разности квадратов:
Аналогично пункту а), выражение имеет вид $(a — b)(a + b)$, где $a = p^{\frac{1}{3}}$ и $b = q^{\frac{1}{3}}$, и мы снова применяем формулу разности квадратов:

$$(a — b)(a + b) = a^3 — b^3.$$

Применяем формулу разности кубов:

$$\left(p^{\frac{1}{3}} — q^{\frac{1}{3}}\right)\left(p^{\frac{2}{3}} + (pq)^{\frac{1}{3}} + q^{\frac{2}{3}}\right) = p^{\frac{3}{3}} — q^{\frac{3}{3}}.$$

Вычисляем степени:

• $p^{\frac{3}{3}} = p$,
• $q^{\frac{3}{3}} = q$.

Получаем результат:

$$p — q.$$

Ответ: $\boxed{p — q}$.

Итоги:

а) $\sqrt[3]{x^2} — 9$
б) $\sqrt{a^3} + \sqrt{b^3}$
в) $d — 1$
г) $p — q$