ГДЗ 10-11 Класс Номер 37.28 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Сократить дробь:

а) $\frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}} — 3} = \frac{3^{\frac{1}{2}} \cdot 4}{3^{\frac{1}{2}} \cdot \left(1 — 3^{\frac{1}{2}}\right)} = \frac{4}{1 — 3^{\frac{1}{2}}} = \frac{4}{1 — \sqrt{3}}$;

б) $\frac{a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}}{a — b} = \frac{a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}}{\left(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}\right)\left(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\right)} = \frac{1}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$;

в) $\frac{x + x^{\frac{1}{2}}}{2x} = \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot \left(x^{\frac{1}{2}} + 1\right)}{2x} = \frac{x^{\frac{1}{2}} + 1}{2x^{\frac{1}{2}}} = \frac{\sqrt{x} + 1}{2\sqrt{x}}$;

г) $\frac{p^{\frac{1}{2}} — 5}{p — 25} = \frac{p^{\frac{1}{2}} — 5}{\left(p^{\frac{1}{2}} — 5\right)\left(p^{\frac{1}{2}} + 5\right)} = \frac{1}{p^{\frac{1}{2}} + 5} = \frac{1}{\sqrt{p} + 5}$.

а) $\frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}} — 3}$

Исходное выражение:

$$\frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}} — 3}.$$

Здесь в числителе у нас выражение $4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$, а в знаменателе $3^{\frac{1}{2}} — 3$. Мы видим, что $3^{\frac{1}{2}}$ (или $\sqrt{3}$) встречается в обоих числителе и знаменателе.

Множим числитель и знаменатель на $3^{\frac{1}{2}}$:
Чтобы упростить выражение, умножим и числитель, и знаменатель на $3^{\frac{1}{2}}$. Это сделает знаменатель более удобным для сокращения:

$$\frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}} — 3} \cdot \frac{3^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}}} = \frac{3^{\frac{1}{2}} \cdot 4}{3^{\frac{1}{2}} \cdot (1 — 3^{\frac{1}{2}})}.$$

Упрощаем выражение:
Теперь числитель и знаменатель содержат одинаковые множители $3^{\frac{1}{2}}$. Мы можем упростить это выражение:

$$\frac{3^{\frac{1}{2}} \cdot 4}{3^{\frac{1}{2}} \cdot (1 — 3^{\frac{1}{2}})} = \frac{4}{1 — 3^{\frac{1}{2}}}.$$

Записываем в окончательной форме:
Мы получаем конечное упрощение:

$$\frac{4}{1 — \sqrt{3}}.$$

Ответ: $\boxed{\frac{4}{1 — \sqrt{3}}}$.

б) $\frac{a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}}{a — b}$

Исходное выражение:

$$\frac{a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}}{a — b}.$$

Нам нужно упростить дробь, в которой в числителе $a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}$, а в знаменателе $a — b$.

Умножаем числитель и знаменатель на $a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}$:
Чтобы упростить выражение, умножим числитель и знаменатель на $a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}$. Это позволит применить формулу разности квадратов:

$$\frac{a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}}{a — b} \cdot \frac{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} = \frac{a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}}{(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})}.$$

Применяем формулу разности квадратов:
Формула разности квадратов гласит, что:

$$(a — b)(a + b) = a^2 — b^2.$$

В нашем случае:

$$(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}) = a — b.$$

Упрощаем выражение:
Таким образом, получаем:

$$\frac{a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}}{a — b} = \frac{1}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}.$$

Записываем в окончательной форме:
Теперь мы можем записать конечное упрощение:

$$\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}.$$

Ответ: $\boxed{\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}}$.

в) $\frac{x + x^{\frac{1}{2}}}{2x}$

Исходное выражение:

$$\frac{x + x^{\frac{1}{2}}}{2x}.$$

В числителе у нас сумма $x + x^{\frac{1}{2}}$, а в знаменателе $2x$.

Вынесение $x^{\frac{1}{2}}$ за скобки:
Обратим внимание, что числитель содержит два слагаемых. Мы можем вынести $x^{\frac{1}{2}}$ за скобки:

$$x + x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} + 1).$$

Тогда выражение примет вид:

$$\frac{x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} + 1)}{2x}.$$

Упрощение:
Теперь числитель и знаменатель содержат $x^{\frac{1}{2}}$, мы можем сократить $x^{\frac{1}{2}}$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} + 1)}{2x} = \frac{x^{\frac{1}{2}} + 1}{2x^{\frac{1}{2}}}.$$

Записываем в окончательной форме:
Таким образом, упрощенное выражение:

$$\frac{\sqrt{x} + 1}{2\sqrt{x}}.$$

Ответ: $\boxed{\frac{\sqrt{x} + 1}{2\sqrt{x}}}$.

г) $\frac{p^{\frac{1}{2}} — 5}{p — 25}$

Исходное выражение:

$$\frac{p^{\frac{1}{2}} — 5}{p — 25}.$$

В числителе $p^{\frac{1}{2}} — 5$, а в знаменателе $p — 25$.

Применяем разность квадратов:
Обратим внимание, что $p — 25$ можно представить как $(p^{\frac{1}{2}} — 5)(p^{\frac{1}{2}} + 5)$, так как $(p^{\frac{1}{2}})^2 = p$ и $5^2 = 25$.
Таким образом, выражение становится:

$$\frac{p^{\frac{1}{2}} — 5}{(p^{\frac{1}{2}} — 5)(p^{\frac{1}{2}} + 5)}.$$

Сокращаем одинаковые множители:
Мы видим, что числитель и знаменатель содержат одинаковые множители $p^{\frac{1}{2}} — 5$, и можем их сократить:

$$\frac{1}{p^{\frac{1}{2}} + 5}.$$

Записываем в окончательной форме:
Конечное упрощение:

$$\frac{1}{\sqrt{p} + 5}.$$

Ответ: $\boxed{\frac{1}{\sqrt{p} + 5}}$.

Итоги:

а) $\frac{4}{1 — \sqrt{3}}$
б) $\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$
в) $\frac{\sqrt{x} + 1}{2\sqrt{x}}$
г) $\frac{1}{\sqrt{p} + 5}$