ГДЗ 10-11 Класс Номер 37.31 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) ${(a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}})}^2-{(a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}})}^2$

б) ${(a^{\frac{3}{2}}+5a^{\frac{1}{2}})}^2-10a^2$

Упростить выражение:

а) ${(a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}})}^2-{(a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}})}^2=(a^{\frac{2}{3}}+2a^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}})-(a^{\frac{2}{3}}-2a^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}})=$

$=4a^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{1}{3}}=4\sqrt[3]{ab}$;

Ответ: $4\sqrt[3]{ab}$.

б) ${(a^{\frac{3}{2}}+5a^{\frac{1}{2}})}^2-10a^2=(a^3+2\cdot 5a^{\frac{3}{2}}{a}^{\frac{1}{2}}+25a^2)-10a^2=a^3+10a^2+$

$+25a-10a^2=a^3+25a$;

Ответ: $a^3+25a$.

а) Упростить выражение:

$${(a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}})}^2-{(a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}})}^2$$

Шаг 1. Вспомним формулу разности квадратов:

$$(A+B{)}^2-(A-B{)}^2=4AB$$

Здесь:

• $A=a^{\frac{1}{3}}$
• $B=b^{\frac{1}{3}}$

Шаг 2. Применим формулу:

$${(a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}})}^2-{(a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}})}^2=4\cdot a^{\frac{1}{3}}\cdot b^{\frac{1}{3}}$$

Шаг 3. Перепишем произведение показателей:

$$a^{\frac{1}{3}}\cdot b^{\frac{1}{3}}=(ab{)}^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{ab}$$

Шаг 4. Подставим обратно:

$$4\cdot \sqrt[3]{ab}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle 4\sqrt[3]{ab}}}$$

б) Упростить выражение:

$${(a^{\frac{3}{2}}+5a^{\frac{1}{2}})}^2-10a^2$$

Шаг 1. Вспомним формулу квадрата суммы:

$$(A+B{)}^2=A^2+2AB+B^2$$

Здесь:

• $A=a^{\frac{3}{2}}$
• $B=5a^{\frac{1}{2}}$

Шаг 2. Найдем каждый член по формуле:

• $A^2={\left(a^{\frac{3}{2}}\right)}^2=a^3$
• $B^2={\left(5a^{\frac{1}{2}}\right)}^2=25a$
• $2AB=2\cdot a^{\frac{3}{2}}\cdot 5a^{\frac{1}{2}}=10a^{\frac{3}{2}+\frac{1}{2}}=10a^2$

Шаг 3. Складываем:

$$a^3+10a^2+25a$$

Шаг 4. Подставляем во всё выражение:

$${(a^{\frac{3}{2}}+5a^{\frac{1}{2}})}^2-10a^2=(a^3+10a^2+25a)-10a^2$$

Шаг 5. Приводим подобные:

$$a^3+\cancel{10a^2}+25a-\cancel{10a^2}=a^3+25a$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle a^3+25a}}$$