ГДЗ 10-11 Класс Номер 37.32 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а)

$$(x^{\frac{1}{4}}+1)(x^{\frac{1}{4}}-1)(x^{\frac{1}{2}}+1)$$

б)

$$(k^{\frac{1}{4}}+l^{\frac{1}{4}})(k^{\frac{1}{8}}+l^{\frac{1}{8}})(k^{\frac{1}{8}}-l^{\frac{1}{8}})$$

Упростить выражение:

а)

$$(x^{\frac{1}{4}}+1)(x^{\frac{1}{4}}-1)(x^{\frac{1}{2}}+1)=(x^{\frac{2}{4}}-1^2)(x^{\frac{1}{2}}+1)=$$

$$\left(x^{\frac{1}{4}} + 1\right)\left(x^{\frac{1}{4}} — 1\right)\left(x^{\frac{1}{2}} + 1\right) = \left(x^{\frac{2}{4}} — 1^2\right)\left(x^{\frac{1}{2}} + 1\right) =$$ $$= \left(x^{\frac{1}{2}} — 1\right)\left(x^{\frac{1}{2}} + 1\right) = x^{\frac{2}{2}} — 1^2 = x — 1;$$

Ответ: $x — 1$.

б)

$$(k^{\frac{1}{4}}+l^{\frac{1}{4}})(k^{\frac{1}{8}}+l^{\frac{1}{8}})(k^{\frac{1}{8}}-l^{\frac{1}{8}})=(k^{\frac{1}{4}}+l^{\frac{1}{4}})(k^{\frac{2}{8}}-l^{\frac{2}{8}})=$$

$$\left(k^{\frac{1}{4}} + l^{\frac{1}{4}}\right)\left(k^{\frac{1}{8}} + l^{\frac{1}{8}}\right)\left(k^{\frac{1}{8}} — l^{\frac{1}{8}}\right) = \left(k^{\frac{1}{4}} + l^{\frac{1}{4}}\right)\left(k^{\frac{2}{8}} — l^{\frac{2}{8}}\right) =$$ $$= \left(k^{\frac{1}{4}} + l^{\frac{1}{4}}\right)\left(k^{\frac{1}{4}} — l^{\frac{1}{4}}\right) = k^{\frac{2}{4}} — l^{\frac{2}{4}} = k^{\frac{1}{2}} — l^{\frac{1}{2}} = \sqrt{k} — \sqrt{l};$$

Ответ: $\sqrt{k} — \sqrt{l}$.

а)

Упростить выражение:

$$\left(x^{\frac{1}{4}} + 1\right)\left(x^{\frac{1}{4}} — 1\right)\left(x^{\frac{1}{2}} + 1\right)$$

Шаг 1: применим формулу разности квадратов

Формула:

$$(a + b)(a — b) = a^2 — b^2$$

Первые две скобки:

$$\left(x^{\frac{1}{4}} + 1\right)\left(x^{\frac{1}{4}} — 1\right) = \left(x^{\frac{1}{4}}\right)^2 — 1^2 = x^{\frac{2}{4}} — 1 = x^{\frac{1}{2}} — 1$$

Шаг 2: умножаем результат на оставшуюся скобку

Теперь имеем:

$$\left(x^{\frac{1}{2}} — 1\right)\left(x^{\frac{1}{2}} + 1\right)$$

Снова используем формулу разности квадратов:

$$(a — b)(a + b) = a^2 — b^2$$

Получаем:

$$\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^2 — 1^2 = x^{1} — 1 = x — 1$$

Ответ:

$$\boxed{x — 1}$$

б)

Упростить выражение:

$$\left(k^{\frac{1}{4}} + l^{\frac{1}{4}}\right)\left(k^{\frac{1}{8}} + l^{\frac{1}{8}}\right)\left(k^{\frac{1}{8}} — l^{\frac{1}{8}}\right)$$

Шаг 1: снова применим формулу разности квадратов

$$\left(k^{\frac{1}{8}} + l^{\frac{1}{8}}\right)\left(k^{\frac{1}{8}} — l^{\frac{1}{8}}\right) = \left(k^{\frac{1}{8}}\right)^2 — \left(l^{\frac{1}{8}}\right)^2 = k^{\frac{2}{8}} — l^{\frac{2}{8}} = k^{\frac{1}{4}} — l^{\frac{1}{4}}$$

Шаг 2: умножаем на первую скобку

Теперь имеем:

$$\left(k^{\frac{1}{4}} + l^{\frac{1}{4}}\right)\left(k^{\frac{1}{4}} — l^{\frac{1}{4}}\right)$$

Снова формула разности квадратов:

$$\left(k^{\frac{1}{4}}\right)^2 — \left(l^{\frac{1}{4}}\right)^2 = k^{\frac{2}{4}} — l^{\frac{2}{4}} = k^{\frac{1}{2}} — l^{\frac{1}{2}}$$

Шаг 3: запишем в виде корней

$$k^{\frac{1}{2}} = \sqrt{k},\quad l^{\frac{1}{2}} = \sqrt{l}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \sqrt{k}-\sqrt{l}}}$$