ГДЗ 10-11 Класс Номер 37.35 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а)

$${\left(\frac{1}{4}\right)}^{-\frac{1}{2}}\cdot {25}^{\frac{1}{2}}-{81}^{\frac{1}{2}}\cdot {125}^{-\frac{1}{3}}$$

б)

$${49}^{-\frac{1}{2}}\cdot {\left(\frac{1}{7}\right)}^{-2}+2^{-1}\cdot (-2{)}^{-2}$$

в)

$${216}^{-\frac{1}{3}}\cdot {\left(\frac{1}{6}\right)}^{-2}-5^{-1}\cdot {\left(\frac{1}{25}\right)}^{-\frac{1}{2}}$$

г)

$${\left(\frac{1}{4}\right)}^{-\frac{1}{2}}\cdot {16}^{\frac{1}{2}}-2^{-1}\cdot {\left(\frac{1}{25}\right)}^{-\frac{1}{2}}\cdot 8^{-\frac{1}{3}}$$

Вычислить значение:

а)

$${\left(\frac{1}{4}\right)}^{-\frac{1}{2}}\cdot {25}^{\frac{1}{2}}-{81}^{\frac{1}{2}}\cdot {125}^{-\frac{1}{3}}=(2^{-2}{)}^{-\frac{1}{2}}\cdot (5^2{)}^{\frac{1}{2}}-(9^2{)}^{\frac{1}{2}}\cdot (5^3{)}^{-\frac{1}{3}}=$$

$$\left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{1}{2}} \cdot 25^{\frac{1}{2}} — 81^{\frac{1}{2}} \cdot 125^{-\frac{1}{3}} = (2^{-2})^{-\frac{1}{2}} \cdot (5^2)^{\frac{1}{2}} — (9^2)^{\frac{1}{2}} \cdot (5^3)^{-\frac{1}{3}} =$$ $$= 2 \cdot 5 — 9 \cdot 5^{-1} = 10 — 9 \cdot \frac{1}{5} = 10 — 1{,}8 = 8{,}2;$$

Ответ: 8,2.

б)

$${49}^{-\frac{1}{2}}\cdot {\left(\frac{1}{7}\right)}^{-2}+2^{-1}\cdot (-2{)}^{-2}=(7^2{)}^{-\frac{1}{2}}\cdot (7^{-1}{)}^{-2}+2^{-1}\cdot 2^{-2}=$$

$$49^{-\frac{1}{2}} \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^{-2} + 2^{-1} \cdot (-2)^{-2} = (7^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot (7^{-1})^{-2} + 2^{-1} \cdot 2^{-2} =$$ $$= 7^{-1} \cdot 7^2 + 2^{-3} = 7 + \frac{1}{2^3} = 7 + \frac{1}{8} = 7\frac{1}{8};$$

Ответ: $7\frac{1}{8}$.

в)

$${216}^{-\frac{1}{3}}\cdot {\left(\frac{1}{6}\right)}^{-2}-5^{-1}\cdot {\left(\frac{1}{25}\right)}^{-\frac{1}{2}}=(6^3{)}^{-\frac{1}{3}}\cdot (6^{-1}{)}^{-2}-5^{-1}\cdot (5^{-2}{)}^{-\frac{1}{2}}=$$

$$216^{-\frac{1}{3}} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^{-2} — 5^{-1} \cdot \left(\frac{1}{25}\right)^{-\frac{1}{2}} = (6^3)^{-\frac{1}{3}} \cdot (6^{-1})^{-2} — 5^{-1} \cdot (5^{-2})^{-\frac{1}{2}} =$$ $$= 6^{-1} \cdot 6^2 — 5^{-1} \cdot 5^1 = 6 — 5^0 = 6 — 1 = 5;$$

Ответ: 5.

г)

$${\left(\frac{1}{4}\right)}^{-\frac{1}{2}}\cdot {16}^{\frac{1}{2}}-2^{-1}\cdot {\left(\frac{1}{25}\right)}^{-\frac{1}{2}}\cdot 8^{-\frac{1}{3}}=(2^{-2}{)}^{-\frac{1}{2}}\cdot (4^2{)}^{\frac{1}{2}}-2^{-1}\cdot (5^{-2}{)}^{-\frac{1}{2}}\cdot (2^3{)}^{-\frac{1}{3}}=$$

$$\left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{1}{2}} \cdot 16^{\frac{1}{2}} — 2^{-1} \cdot \left(\frac{1}{25}\right)^{-\frac{1}{2}} \cdot 8^{-\frac{1}{3}} = (2^{-2})^{-\frac{1}{2}} \cdot (4^2)^{\frac{1}{2}} — 2^{-1} \cdot (5^{-2})^{-\frac{1}{2}} \cdot (2^3)^{-\frac{1}{3}} =$$ $$= 2 \cdot 4 — 2^{-1} \cdot 5 \cdot 2^{-1} = 8 — \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 8 — \frac{5}{4} = 8 — 1{,}25 = 6{,}75;$$

Ответ: 6,75.

а)

Вычислить:

$$\left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{1}{2}} \cdot 25^{\frac{1}{2}} — 81^{\frac{1}{2}} \cdot 125^{-\frac{1}{3}}$$

Шаг 1. Преобразуем каждое основание к простым числам:

$\frac{1}{4} = 2^{-2}$

$25 = 5^2$

$81 = 9^2 = 3^4$

$125 = 5^3$

Шаг 2. Применим свойства степеней:

$(2^{-2})^{-\frac{1}{2}} = 2^{-2 \cdot (-\frac{1}{2})} = 2^{1}$

$(5^2)^{\frac{1}{2}} = 5^{2 \cdot \frac{1}{2}} = 5^1$

$81^{\frac{1}{2}} = \sqrt{81} = 9$

$125^{-\frac{1}{3}} = 5^{-1} = \frac{1}{5}$

Шаг 3. Подставим и посчитаем:

$$2 \cdot 5 — 9 \cdot \frac{1}{5} = 10 — \frac{9}{5} = 10 — 1.8 = 8.2$$

Ответ:

$$\boxed{8{,}2}$$

б)

Вычислить:

$$49^{-\frac{1}{2}} \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^{-2} + 2^{-1} \cdot (-2)^{-2}$$

Шаг 1. Преобразуем степени:

$49 = 7^2 \Rightarrow (7^2)^{-\frac{1}{2}} = 7^{-1}$

$\left(\frac{1}{7}\right)^{-2} = 7^2$

$2^{-1} = \frac{1}{2}$

$(-2)^{-2} = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4}$

Шаг 2. Упростим:

$$7^{-1} \cdot 7^2 = 7^{(-1 + 2)} = 7^1 = 7$$ $$2^{-1} \cdot (-2)^{-2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$$

Шаг 3. Сложим:

$$7 + \frac{1}{8} = \frac{56}{8} + \frac{1}{8} = \frac{57}{8} = 7 \frac{1}{8}$$

Ответ:

$$\boxed{7\frac{1}{8}}$$

в)

Вычислить:

$$216^{-\frac{1}{3}} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^{-2} — 5^{-1} \cdot \left(\frac{1}{25}\right)^{-\frac{1}{2}}$$

Шаг 1. Преобразуем:

$216 = 6^3 \Rightarrow (6^3)^{-\frac{1}{3}} = 6^{-1}$

$\left(\frac{1}{6}\right)^{-2} = 6^2$

$5^{-1} = \frac{1}{5}$

$\left(\frac{1}{25}\right)^{-\frac{1}{2}} = (25^{-1})^{-\frac{1}{2}} = 25^{\frac{1}{2}} = 5$

Шаг 2. Упростим:

$$6^{-1} \cdot 6^2 = 6^{(-1 + 2)} = 6^1 = 6$$ $$\frac{1}{5} \cdot 5 = 1$$

Шаг 3. Посчитаем:

$$6 — 1 = 5$$

Ответ:

$$\boxed{5}$$

г)

Вычислить:

$$\left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{1}{2}} \cdot 16^{\frac{1}{2}} — 2^{-1} \cdot \left(\frac{1}{25}\right)^{-\frac{1}{2}} \cdot 8^{-\frac{1}{3}}$$

Шаг 1. Преобразуем основания:

$\frac{1}{4} = 2^{-2} \Rightarrow (2^{-2})^{-\frac{1}{2}} = 2$

$16 = 4^2 = (4^2)^{\frac{1}{2}} = 4$

$2^{-1} = \frac{1}{2}$

$\frac{1}{25} = 5^{-2} \Rightarrow (5^{-2})^{-\frac{1}{2}} = 5$

$8 = 2^3 \Rightarrow (2^3)^{-\frac{1}{3}} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$

Шаг 2. Упростим:

$$2 \cdot 4 = 8$$ $$\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{4} = 1.25$$

Шаг 3. Посчитаем:

$$8 — 1.25 = 6.75$$

Ответ:

$$\boxed{6{,}75}$$

Итоги:

а) $\boxed{8{,}2}$

б) $\boxed{7\frac{1}{8}}$

в) $\boxed{5}$

г) $\boxed{6{,}75}$