ГДЗ 10-11 Класс Номер 37.37 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:

а)

$$\frac{x^{\frac{5}{6}}+x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{5}{6}}-x^{\frac{1}{3}}}$$

б)

$$\frac{m^{\frac{2}{3}}-2,25}{m^{\frac{1}{3}}+1,5}$$

Найти значение выражения:

а)

$$\frac{x^{\frac{5}{6}} + x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{5}{6}} — x^{\frac{1}{3}}} = \frac{x^{\frac{5}{6}} + x^{\frac{2}{6}}}{x^{\frac{5}{6}} — x^{\frac{2}{6}}} = \frac{x^{\frac{2}{6}} \cdot \left(x^{\frac{3}{6}} + 1\right)}{x^{\frac{2}{6}} \cdot \left(x^{\frac{3}{6}} — 1\right)} = \frac{x^{\frac{1}{2}} + 1}{x^{\frac{1}{2}} — 1} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} — 1};$$

Если $x = 1,44$, тогда:

$$\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} — 1} = \frac{\sqrt{1,44} + 1}{\sqrt{1,44} — 1} = \frac{1,2 + 1}{1,2 — 1} = \frac{2,2}{0,2} = \frac{22}{2} = 11;$$

Ответ: 11.

б)

$$\frac{m^{\frac{2}{3}} — 2,25}{m^{\frac{1}{3}} + 1,5} = \frac{m^{\frac{2}{3}} — 1,5^2}{m^{\frac{1}{3}} + 1,5} = \frac{\left(m^{\frac{1}{3}} — 1,5\right)\left(m^{\frac{1}{3}} + 1,5\right)}{m^{\frac{1}{3}} + 1,5} = \sqrt[3]{m} — 1,5;$$

Если $m = 8$, тогда:

$$\sqrt[3]{m} — 1,5 = \sqrt[3]{8} — 1,5 = 2 — 1,5 = 0,5;$$

Ответ: 0,5.

а)

Вычислить:

$$\frac{x^{\frac{5}{6}} + x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{5}{6}} — x^{\frac{1}{3}}} \quad \text{при} \quad x = 1{,}44$$

Шаг 1. Приведем степени к общему знаменателю

$\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$, поэтому:

$$\frac{x^{\frac{5}{6}} + x^{\frac{2}{6}}}{x^{\frac{5}{6}} — x^{\frac{2}{6}}}$$

Шаг 2. Вынесем общий множитель из числителя и знаменателя

Общий множитель: $x^{\frac{2}{6}} = x^{\frac{1}{3}}$

$$= \frac{x^{\frac{2}{6}} \cdot (x^{\frac{3}{6}} + 1)}{x^{\frac{2}{6}} \cdot (x^{\frac{3}{6}} — 1)} = \frac{x^{\frac{3}{6}} + 1}{x^{\frac{3}{6}} — 1}$$

Шаг 3. Упростим показатели

$x^{\frac{3}{6}} = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$

Значит:

$$\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} — 1}$$

Шаг 4. Подставим значение $x = 1{,}44$

$$\sqrt{1{,}44} = 1{,}2$$

Подставляем:

$$\frac{1{,}2 + 1}{1{,}2 — 1} = \frac{2{,}2}{0{,}2}$$

Шаг 5. Делим

$$\frac{2{,}2}{0{,}2} = \frac{22}{2} = 11$$

Ответ:

$$\boxed{11}$$

б)

Вычислить:

$$\frac{m^{\frac{2}{3}} — 2{,}25}{m^{\frac{1}{3}} + 1{,}5} \quad \text{при} \quad m = 8$$

Шаг 1. Представим 2,25 как квадрат числа

$$2{,}25 = 1{,}5^2$$

Значит:

$$\frac{m^{\frac{2}{3}} — 1{,}5^2}{m^{\frac{1}{3}} + 1{,}5}$$

Это разность квадратов:

$$a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)$$

Здесь:

• $a = m^{\frac{1}{3}}$
• $b = 1{,}5$

Применим формулу:

$$= \frac{(m^{\frac{1}{3}} — 1{,}5)(m^{\frac{1}{3}} + 1{,}5)}{m^{\frac{1}{3}} + 1{,}5}$$

Сократим одинаковые множители:

$$= m^{\frac{1}{3}} — 1{,}5$$

Шаг 2. Подставим $m = 8$

$$\sqrt[3]{8} = 2 \Rightarrow 2 — 1{,}5 = 0{,}5$$

Ответ:

$$\boxed{0{,}5}$$

Итог:

а) $\boxed{11}$

б) $\boxed{0{,}5}$