ГДЗ 10-11 Класс Номер 37.39 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Упростить выражение:

а)

$$\frac{a^{\frac{3}{2}} — b^{\frac{3}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{a — b}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b} + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} =$$ $$= \frac{(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}})(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b) \cdot (a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})}{(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}) \cdot (a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)} + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} =$$ $$= (a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}})^2 + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} = (a — 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b) + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} = a + b;$$

Ответ: $a + b$

б)

$$\left(\frac{q^{\frac{1}{2}}}{p — p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}} + \frac{p^{\frac{1}{2}}}{q — p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}}\right) \cdot \frac{p q^{\frac{1}{2}} + p^{\frac{1}{2}} q}{p — q} =$$ $$= \left(\frac{q^{\frac{1}{2}}}{p^{\frac{1}{2}} \cdot (p^{\frac{1}{2}} — q^{\frac{1}{2}})} + \frac{p^{\frac{1}{2}}}{q^{\frac{1}{2}} \cdot (q^{\frac{1}{2}} — p^{\frac{1}{2}})}\right) \cdot \frac{p^{\frac{1}{2}} q^{\frac{1}{2}} \cdot (p^{\frac{1}{2}} + q^{\frac{1}{2}})}{(p^{\frac{1}{2}} — q^{\frac{1}{2}})(p^{\frac{1}{2}} + q^{\frac{1}{2}})} =$$ $$= \frac{q^{\frac{1}{2}}}{p^{\frac{1}{2}} \cdot (p^{\frac{1}{2}} — q^{\frac{1}{2}})} \cdot \frac{p^{\frac{1}{2}} q^{\frac{1}{2}}}{p^{\frac{1}{2}} — q^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{p^{\frac{1}{2}} + q^{\frac{1}{2}}}{(p^{\frac{1}{2}} — q^{\frac{1}{2}})(p^{\frac{1}{2}} + q^{\frac{1}{2}})} = \frac{q — p}{(p^{\frac{1}{2}} — q^{\frac{1}{2}})^2} =$$ $$= \frac{(q^{\frac{1}{2}} — p^{\frac{1}{2}})(q^{\frac{1}{2}} + p^{\frac{1}{2}})}{(q^{\frac{1}{2}} — p^{\frac{1}{2}})^2} = \frac{q^{\frac{1}{2}} + p^{\frac{1}{2}}}{q^{\frac{1}{2}} — p^{\frac{1}{2}}} = \frac{\sqrt{q} + \sqrt{p}}{\sqrt{q} — \sqrt{p}};$$

Ответ: $\frac{\sqrt{q} + \sqrt{p}}{\sqrt{q} — \sqrt{p}}$

а)

Упростить выражение:

$$\frac{a^{\frac{3}{2}} — b^{\frac{3}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{a — b}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b} + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}$$

Шаг 1. Вспомним формулы сокращённого умножения

• Разность кубов:

$$x^3 — y^3 = (x — y)(x^2 + xy + y^2)$$

Но здесь:

• $a^{\frac{3}{2}} = (a^{\frac{1}{2}})^3$
• $b^{\frac{3}{2}} = (b^{\frac{1}{2}})^3$

Следовательно, можем использовать формулу разности кубов в виде:

$$a^{\frac{3}{2}} — b^{\frac{3}{2}} = (a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}})(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)$$

Шаг 2. Преобразуем первую дробь

$$\frac{a^{\frac{3}{2}} — b^{\frac{3}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} = \frac{(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}})(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}$$

Шаг 3. Вторая дробь:

$$\frac{a — b}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b}$$

Знаменатель совпадает с одним из множителей в числителе предыдущей дроби. Перепишем числитель как:

$$a — b = (a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})$$

(по формуле разности квадратов)

Шаг 4. Перемножим дроби

Теперь выражение:

$$\frac{(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}})(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b}$$

Сокращаем:

• $a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}$
• $a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b$

Остаётся:

$$(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}})^2$$

Шаг 5. Раскроем квадрат разности

$$(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}})^2 = a — 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b$$

Теперь добавим второе слагаемое из исходного выражения:

$$a — 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} = a + b$$

Ответ:

$$\boxed{a + b}$$

б)

Упростить выражение:

$$\left(\frac{q^{\frac{1}{2}}}{p — p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}} + \frac{p^{\frac{1}{2}}}{q — p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}}\right) \cdot \frac{p q^{\frac{1}{2}} + p^{\frac{1}{2}} q}{p — q}$$

Шаг 1. Преобразуем знаменатели

Заметим:

$$p — p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}} = p^{\frac{1}{2}}(p^{\frac{1}{2}} — q^{\frac{1}{2}})$$ $$q — p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}} = q^{\frac{1}{2}}(q^{\frac{1}{2}} — p^{\frac{1}{2}}) = -q^{\frac{1}{2}}(p^{\frac{1}{2}} — q^{\frac{1}{2}})$$

Шаг 2. Преобразуем первую часть выражения

$$\frac{q^{\frac{1}{2}}}{p^{\frac{1}{2}}(p^{\frac{1}{2}} — q^{\frac{1}{2}})} + \frac{p^{\frac{1}{2}}}{-q^{\frac{1}{2}}(p^{\frac{1}{2}} — q^{\frac{1}{2}})}$$

Общий знаменатель: $(p^{\frac{1}{2}} — q^{\frac{1}{2}})$

Приводим к общему:

$$= \frac{q^{\frac{1}{2}}}{p^{\frac{1}{2}}(p^{\frac{1}{2}} — q^{\frac{1}{2}})} — \frac{p^{\frac{1}{2}}}{q^{\frac{1}{2}}(p^{\frac{1}{2}} — q^{\frac{1}{2}})}$$

Шаг 3. Преобразуем вторую часть

В числителе:

$$pq^{\frac{1}{2}} + p^{\frac{1}{2}}q = p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}(p^{\frac{1}{2}} + q^{\frac{1}{2}})$$

В знаменателе:

$$p — q = (p^{\frac{1}{2}} — q^{\frac{1}{2}})(p^{\frac{1}{2}} + q^{\frac{1}{2}})$$

Итак, дробь:

$$\frac{p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}(p^{\frac{1}{2}} + q^{\frac{1}{2}})}{(p^{\frac{1}{2}} — q^{\frac{1}{2}})(p^{\frac{1}{2}} + q^{\frac{1}{2}})} = \frac{p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}}{p^{\frac{1}{2}} — q^{\frac{1}{2}}}$$

Шаг 4. Умножаем обе части

Вернёмся к первой части:

$$\frac{q^{\frac{1}{2}}}{p^{\frac{1}{2}}(p^{\frac{1}{2}} — q^{\frac{1}{2}})} — \frac{p^{\frac{1}{2}}}{q^{\frac{1}{2}}(p^{\frac{1}{2}} — q^{\frac{1}{2}})} = \frac{q^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}} — p^{\frac{1}{2}}p^{\frac{1}{2}}}{p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}(p^{\frac{1}{2}} — q^{\frac{1}{2}})} = \frac{q — p}{p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}(p^{\frac{1}{2}} — q^{\frac{1}{2}})}$$

Теперь умножаем на вторую часть:

$$\frac{q — p}{p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}(p^{\frac{1}{2}} — q^{\frac{1}{2}})} \cdot \frac{p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}}{p^{\frac{1}{2}} — q^{\frac{1}{2}}} = \frac{q — p}{(p^{\frac{1}{2}} — q^{\frac{1}{2}})^2}$$

Шаг 5. Преобразуем знак и используем формулу разности квадратов

$$q — p = -(p — q) = -(p^{\frac{1}{2}} — q^{\frac{1}{2}})(p^{\frac{1}{2}} + q^{\frac{1}{2}})$$

Тогда:

$$\frac{-(p^{\frac{1}{2}} — q^{\frac{1}{2}})(p^{\frac{1}{2}} + q^{\frac{1}{2}})}{(p^{\frac{1}{2}} — q^{\frac{1}{2}})^2} = -\frac{p^{\frac{1}{2}} + q^{\frac{1}{2}}}{p^{\frac{1}{2}} — q^{\frac{1}{2}}} = \frac{q^{\frac{1}{2}} + p^{\frac{1}{2}}}{q^{\frac{1}{2}} — p^{\frac{1}{2}}}$$

(умножили числитель и знаменатель на –1)

Ответ:

$$\boxed{\frac{\sqrt{q} + \sqrt{p}}{\sqrt{q} — \sqrt{p}}}$$

Итоги:

а) $\boxed{a + b}$

б) $\boxed{\dfrac{\sqrt{q} + \sqrt{p}}{\sqrt{q} — \sqrt{p}}}$