ГДЗ 10-11 Класс Номер 37.40 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Упростить выражение:

а)

$$\frac{a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}}-\frac{a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}}+\frac{b}{a-a^{\frac{1}{2}}{b}^{\frac{1}{2}}}=$$

$$\frac{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} — \frac{a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}} + \frac{b}{a — a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}} =$$ $$=\frac{(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}})}{a^{\frac{1}{2}}\cdot (a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}})}-\frac{a^{\frac{1}{2}}\cdot a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}\cdot (a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}})}+\frac{b}{a^{\frac{1}{2}}\cdot (a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}})}=$$

$$= \frac{(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}})}{a^{\frac{1}{2}} \cdot (a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}})} — \frac{a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} \cdot (a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}})} + \frac{b}{a^{\frac{1}{2}} \cdot (a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}})} =$$ $$= \frac{(a — b) — a + b}{a — a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}} = \frac{0}{a — \sqrt{ab}} = 0;$$

Ответ: $0$

б)

$$\frac{2a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{4}{3}}-3a^{\frac{1}{3}}}-\frac{a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{5}{3}}-a^{\frac{2}{3}}}-\frac{a+1}{a^2-4a+3}=$$

$$\frac{2a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{4}{3}} — 3a^{\frac{1}{3}}} — \frac{a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{5}{3}} — a^{\frac{2}{3}}} — \frac{a + 1}{a^2 — 4a + 3} =$$ $$=\frac{2a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}\cdot (a-3)}-\frac{a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}\cdot (a-1)}-\frac{a+1}{a^2-a-3a+3}=$$

$$= \frac{2a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} \cdot (a — 3)} — \frac{a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} \cdot (a — 1)} — \frac{a + 1}{a^2 — a — 3a + 3} =$$ $$=\frac{2}{a-3}-\frac{1}{a-1}-\frac{a+1}{a(a-1)-3(a-1)}=$$

$$= \frac{2}{a — 3} — \frac{1}{a — 1} — \frac{a + 1}{a(a — 1) — 3(a — 1)} =$$ $$= \frac{2(a — 1) — (a — 3) — (a + 1)}{(a — 1)(a — 3)} = \frac{0}{a^2 — 4a + 3} = 0;$$

Ответ: $0$

а)

Упростить выражение:

$$\frac{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} — \frac{a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}} + \frac{b}{a — a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}}$$

Шаг 1: Упрощаем первую дробь

$$\frac{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} = \frac{a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} + \frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} = 1 + \frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}}$$

Но лучше пока оставить без раскрытия, так как позже придётся привести к общему знаменателю.

Шаг 2: Преобразуем знаменатели и дроби к общему виду

Заменим:

• $a = a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}}$
• $a = a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}}$
• $a = \sqrt{a}$, $b = \sqrt{b}$

Тогда:

$$a — a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}})$$

Шаг 3: Записываем все дроби с одинаковым знаменателем

$$\frac{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} = \frac{(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}})}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}})}$$ $$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}} = \frac{a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}})} = \frac{a}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}})}$$ $$\frac{b}{a — a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}} = \frac{b}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}})}$$

Шаг 4: Запишем общую сумму в одну дробь

Общий знаменатель:

$$a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}})$$

Числитель:

$$(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}) — a + b$$

Применим формулу разности квадратов:

$$(a^{\frac{1}{2}})^2 — (b^{\frac{1}{2}})^2 = a — b$$

То есть числитель:

$$a — b — a + b = 0$$

Шаг 5: Получаем итог

$$\frac{0}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}})} = 0$$

Ответ:

$$\boxed{0}$$

б)

Упростить выражение:

$$\frac{2a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{4}{3}} — 3a^{\frac{1}{3}}} — \frac{a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{5}{3}} — a^{\frac{2}{3}}} — \frac{a + 1}{a^2 — 4a + 3}$$

Шаг 1: Вынесем общий множитель в каждом знаменателе

Первая дробь:

$$a^{\frac{4}{3}} — 3a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{3}}(a — 3) \Rightarrow \frac{2a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}(a — 3)} = \frac{2}{a — 3}$$

Вторая дробь:

$$a^{\frac{5}{3}} — a^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}}(a — 1) \Rightarrow \frac{a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}(a — 1)} = \frac{1}{a — 1}$$

Третья дробь:

$$a^2-4a+3=a^2-a-3a+3=a(a-1)-3(a-1)=$$

$$a^2 — 4a + 3 = a^2 — a — 3a + 3 = a(a — 1) — 3(a — 1) = (a — 1)(a — 3) \Rightarrow \frac{a + 1}{(a — 1)(a — 3)}$$

Шаг 2: Запишем полное выражение

$$\frac{2}{a — 3} — \frac{1}{a — 1} — \frac{a + 1}{(a — 1)(a — 3)}$$

Шаг 3: Приведём к общему знаменателю

Общий знаменатель: $(a — 1)(a — 3)$

Приводим:

• $\frac{2}{a — 3} = \frac{2(a — 1)}{(a — 3)(a — 1)}$
• $\frac{1}{a — 1} = \frac{(a — 3)}{(a — 3)(a — 1)}$
• $\frac{a + 1}{(a — 1)(a — 3)}$ — уже в нужном виде

Шаг 4: Объединяем числители

$$\frac{2(a — 1) — (a — 3) — (a + 1)}{(a — 1)(a — 3)}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$2a — 2 — a + 3 — a — 1 = (2a — a — a) + (-2 + 3 — 1) = 0 + 0 = 0$$

Шаг 5: Итог

$$\frac{0}{(a — 1)(a — 3)} = 0$$

Ответ:

$$\boxed{0}$$

ИТОГОВЫЕ ОТВЕТЫ:

а) $\boxed{0}$

б) $\boxed{0}$