ГДЗ 10-11 Класс Номер 37.41 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) Известно, что $f(x) = x^{\frac{1}{4}}$, $g(x)=x^{-2}$. Докажите, что $f(16x^8)=2(g(x){)}^{-1}$.

б) Известно, что $f(x) = x^{\frac{2}{3}}$, $g(x)=x^{-3}$. Докажите, что $f(27x^9) = 9(g(x))^{-2}$.

а) Доказать, что $f(16x^8) = 2(g(x))^{-1}$, если $f(x) = x^{\frac{1}{4}}$, $g(x) = x^{-2}$;

$$f(16x^8) = (16x^8)^{\frac{1}{4}} = (16)^{\frac{1}{4}} \cdot (x^8)^{\frac{1}{4}} = (2^4)^{\frac{1}{4}} \cdot x^2 = 2^1 \cdot x^2 = 2x^2;$$ $$2(g(x))^{-1} = 2(x^{-2})^{-1} = 2x^2;$$

Что и требовалось доказать.

б) Доказать, что $f(27x^9) = 9(g(x))^{-2}$, если $f(x) = x^{\frac{2}{3}}$, $g(x) = x^{-3}$;

$$f(27x^9) = (27x^9)^{\frac{2}{3}} = (27)^{\frac{2}{3}} \cdot (x^9)^{\frac{2}{3}} = (3^3)^{\frac{2}{3}} \cdot x^6 = 3^2 \cdot x^6 = 9x^6;$$ $$9(g(x))^{-2} = 9(x^{-3})^{-2} = 9x^6;$$

Что и требовалось доказать.

а) Доказать, что

$$f(16x^8) = 2(g(x))^{-1}, \quad \text{если} \quad f(x) = x^{\frac{1}{4}},\quad g(x) = x^{-2}$$

Шаг 1. Подставим $x = 16x^8$ в функцию $f$:

$$f(16x^8) = (16x^8)^{\frac{1}{4}}$$

Это степень произведения. Применяем формулу:

$$(ab)^n = a^n \cdot b^n$$ $$= 16^{\frac{1}{4}} \cdot (x^8)^{\frac{1}{4}}$$

Шаг 2. Преобразуем каждую степень отдельно:

• $16 = 2^4$, значит:

$$16^{\frac{1}{4}} = (2^4)^{\frac{1}{4}} = 2^{4 \cdot \frac{1}{4}} = 2^1 = 2$$

• $x^8$ в степени $\frac{1}{4}$:

$$(x^8)^{\frac{1}{4}} = x^{8 \cdot \frac{1}{4}} = x^2$$

Шаг 3. Перемножим:

$$f(16x^8) = 2 \cdot x^2 = 2x^2$$

Шаг 4. Вычислим $2(g(x))^{-1}$:

$$g(x) = x^{-2} \Rightarrow g(x)^{-1} = (x^{-2})^{-1} = x^{2}$$

Умножим на 2:

$$2(g(x))^{-1} = 2x^2$$

Шаг 5. Сравнение:

$$f(16x^8) = 2x^2,\quad \text{и} \quad 2(g(x))^{-1} = 2x^2$$

Что и требовалось доказать.

б) Доказать, что

$$f(27x^9) = 9(g(x))^{-2}, \quad \text{если} \quad f(x) = x^{\frac{2}{3}},\quad g(x) = x^{-3}$$

Шаг 1. Подставим $x = 27x^9$ в функцию $f$:

$$f(27x^9) = (27x^9)^{\frac{2}{3}} = 27^{\frac{2}{3}} \cdot (x^9)^{\frac{2}{3}}$$

Шаг 2. Преобразуем каждую степень:

• $27 = 3^3$, значит:

$$27^{\frac{2}{3}} = (3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 3^2 = 9$$

• $(x^9)^{\frac{2}{3}} = x^{9 \cdot \frac{2}{3}} = x^6$

Шаг 3. Перемножим:

$$f(27x^9) = 9x^6$$

Шаг 4. Вычислим $9(g(x))^{-2}$:

$$g(x) = x^{-3} \Rightarrow g(x)^{-2} = (x^{-3})^{-2} = x^{6}$$

Умножим на 9:

$$9(g(x))^{-2} = 9x^6$$

Шаг 5. Сравнение:

$$f(27x^9) = 9x^6,\quad 9(g(x))^{-2} = 9x^6$$

Что и требовалось доказать.