ГДЗ 10-11 Класс Номер 37.6 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $9^{\frac{1}{2}}$

б) $0,{16}^{\frac{1}{2}}$

в) ${\left(\frac{3}{8}\right)}^{\frac{4}{3}}$

г) $0,{001}^{\frac{2}{3}}$

Вычислить значение:

а) $9^{\frac{1}{2}} = 9^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}} = 9^{\frac{5}{2}} = \sqrt{9^5} = (\sqrt{9})^5 = 3^5 = 243$;
Ответ: 243.

б) $0,16^{\frac{1}{2}} = 0,16^{\frac{1 \cdot 2 + 1}{2}} = 0,16^{\frac{3}{2}} = \sqrt{0,16^3} = (\sqrt{0,16})^3 = 0,4^3 = 0,064$;
Ответ: 0,064.

в) $\left( \frac{3}{8} \right)^{\frac{4}{3}} = \left( \frac{3 \cdot 8 + 3}{8} \right)^{\frac{4}{3}} = \sqrt[3]{\left( \frac{27}{8} \right)^4} = \left( \sqrt[3]{\frac{27}{8}} \right)^4 = \left( \frac{3}{2} \right)^4 = \frac{81}{16} = 5 \frac{1}{16}$;
Ответ: $5 \frac{1}{16}$.

г) $0,001^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{0,001^2} = \left( \sqrt[3]{0,001} \right)^2 = 0,1^2 = 0,01$;
Ответ: 0,01.

а) $9^{\frac{1}{2}} = 9^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}} = 9^{\frac{5}{2}} = \sqrt{9^5} = (\sqrt{9})^5 = 3^5 = 243$

Решение:

Шаг 1. Начнем с выражения $9^{\frac{1}{2}}$, которое можно переписать как $\sqrt{9}$, поскольку $\frac{1}{2}$ — это степень для квадратного корня.

$$9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3.$$

Шаг 2. Теперь, чтобы выполнить дальнейшие операции, возьмем выражение $9^{\frac{5}{2}}$. Мы можем записать это как:

$$9^{\frac{5}{2}} = \sqrt{9^5}.$$

Шаг 3. Теперь, извлекаем корень из $9^5$. Извлечение квадратного корня эквивалентно возведению в степень $\frac{1}{2}$, так что:

$$9^{\frac{5}{2}} = (\sqrt{9})^5.$$

Шаг 4. Поскольку $\sqrt{9} = 3$, подставляем это значение:

$$(\sqrt{9})^5 = 3^5.$$

Шаг 5. Вычисляем $3^5$:

$$3^5 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 243.$$

Ответ: 243.

б) $0,16^{\frac{1}{2}} = 0,16^{\frac{1 \cdot 2 + 1}{2}} = 0,16^{\frac{3}{2}} = \sqrt{0,16^3} = (\sqrt{0,16})^3 = 0,4^3 = 0,064$

Решение:

Шаг 1. Начнем с выражения $0,16^{\frac{1}{2}}$, которое эквивалентно квадратному корню из 0,16:

$$0,16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{0,16}.$$

Шаг 2. Вычислим $\sqrt{0,16}$. Это означает, что нужно найти число, которое при возведении в квадрат даст 0,16:

$$\sqrt{0,16} = 0,4.$$

Шаг 3. Теперь, переходим к выражению $0,16^{\frac{3}{2}}$. Мы можем переписать это как:

$$0,16^{\frac{3}{2}} = \sqrt{0,16^3}.$$

Шаг 4. Возьмем $\sqrt{0,16^3}$. Для этого сначала найдем $0,16^3$:

$$0,16^3 = 0,16 \times 0,16 \times 0,16 = 0,004096.$$

Теперь извлекаем квадратный корень из этого числа:

$$\sqrt{0,004096} = 0,064.$$

Шаг 5. Также можно выполнить это по-другому: выражение $0,16^{\frac{3}{2}}$ можно записать как $(\sqrt{0,16})^3$, и уже после этого возводить в куб:

$$(\sqrt{0,16})^3 = 0,4^3.$$

Вычисляем $0,4^3$:

$$0,4^3 = 0,4 \times 0,4 \times 0,4 = 0,064.$$

Ответ: 0,064.

в) $\left( \frac{3}{8} \right)^{\frac{4}{3}} = \left( \frac{3 \cdot 8 + 3}{8} \right)^{\frac{4}{3}} = \sqrt[3]{\left( \frac{27}{8} \right)^4} = \left( \sqrt[3]{\frac{27}{8}} \right)^4 = \left( \frac{3}{2} \right)^4 = \frac{81}{16} = 5 \frac{1}{16}$

Решение:

Шаг 1. Начнем с выражения $\left( \frac{3}{8} \right)^{\frac{4}{3}}$.

Шаг 2. Применяем правило степеней и переписываем $\left( \frac{3}{8} \right)^{\frac{4}{3}}$ как $\sqrt[3]{\left( \frac{3}{8} \right)^4}$.

$$\left( \frac{3}{8} \right)^{\frac{4}{3}} = \sqrt[3]{\left( \frac{3}{8} \right)^4}.$$

Шаг 3. Теперь возводим $\frac{3}{8}$ в четвертую степень:

$$\left( \frac{3}{8} \right)^4 = \frac{3^4}{8^4} = \frac{81}{4096}.$$

Шаг 4. Теперь извлекаем кубический корень из $\frac{81}{4096}$:

$$\sqrt[3]{\frac{81}{4096}} = \frac{\sqrt[3]{81}}{\sqrt[3]{4096}} = \frac{3}{16}.$$

Шаг 5. Возводим результат в четвертую степень:

$$\left( \frac{3}{16} \right)^4 = \frac{3^4}{16^4} = \frac{81}{256}.$$

Шаг 6. Преобразуем дробь в смешанное число:

$$\frac{81}{16} = 5 \frac{1}{16}.$$

Ответ: $5 \frac{1}{16}$.

г) $0,001^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{0,001^2} = \left( \sqrt[3]{0,001} \right)^2 = 0,1^2 = 0,01$

Решение:

Шаг 1. Начнем с выражения $0,001^{\frac{2}{3}}$, которое можно записать как:

$$0,001^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{0,001^2}.$$

Шаг 2. Возведем $0,001$ в квадрат:

$$0,001^2 = 0,000001.$$

Шаг 3. Теперь извлекаем кубический корень из $0,000001$:

$$\sqrt[3]{0,000001} = 0,1.$$

Шаг 4. Возводим $0,1$ в квадрат:

$$0,1^2 = 0,01.$$

Ответ: 0,01.