ГДЗ 10-11 Класс Номер 37.8 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $(27\cdot 3^{-4}{)}^2$

б) $16\cdot (2^{-3}{)}^2$

Вычислить значение:

а) $(27 \cdot 3^{-4})^2 = (3^3 \cdot 3^{-4})^2 = (3^{-1})^2 = 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$;

Ответ: $\frac{1}{9}$.

б) $16 \cdot (2^{-3})^2 = 2^4 \cdot 2^{-6} = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0,25$;

Ответ: 0,25.

а) $(27 \cdot 3^{-4})^2 = (3^3 \cdot 3^{-4})^2 = (3^{-1})^2 = 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$

Шаг 1. Раскроем выражение внутри скобок.

• Начнем с выражения $27 \cdot 3^{-4}$. Заметили, что 27 можно записать как степень 3, поскольку $27 = 3^3$. Таким образом:

$$27 \cdot 3^{-4} = 3^3 \cdot 3^{-4}.$$

Шаг 2. Применим правило для произведения степеней с одинаковыми основаниями.

• Для произведения степеней с одинаковыми основаниями используем правило: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Подставим это:

$$3^3 \cdot 3^{-4} = 3^{3 + (-4)} = 3^{-1}.$$

Шаг 3. Возведем выражение в квадрат.

• Теперь у нас есть выражение $(3^{-1})^2$. Применим правило для степени степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, чтобы возвести степень в квадрат:

$$(3^{-1})^2 = 3^{-1 \cdot 2} = 3^{-2}.$$

Шаг 4. Преобразуем отрицательную степень в дробь.

• Напоминаем, что отрицательная степень $a^{-m} = \frac{1}{a^m}$. Таким образом, $3^{-2}$ можно записать как:

$$3^{-2} = \frac{1}{3^2}.$$

Шаг 5. Вычислим значение.

• $3^2 = 9$, следовательно:

$$\frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}.$$

Ответ: $\frac{1}{9}$.

б) $16 \cdot (2^{-3})^2 = 2^4 \cdot 2^{-6} = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0,25$

Шаг 1. Раскроем выражение внутри скобок.

• Начнем с выражения $(2^{-3})^2$. Применим правило для степени степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$$(2^{-3})^2 = 2^{-3 \cdot 2} = 2^{-6}.$$

Шаг 2. Умножим на 16.

• Теперь у нас есть выражение $16 \cdot 2^{-6}$. Напоминаем, что 16 можно записать как степень 2, поскольку $16 = 2^4$. Таким образом:

$$16 \cdot 2^{-6} = 2^4 \cdot 2^{-6}.$$

Шаг 3. Применим правило для произведения степеней с одинаковыми основаниями.

• Используем правило для произведения степеней с одинаковыми основаниями: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Подставляем:

$$2^4 \cdot 2^{-6} = 2^{4 + (-6)} = 2^{-2}.$$

Шаг 4. Преобразуем отрицательную степень в дробь.

• Напоминаем, что $a^{-m} = \frac{1}{a^m}$. Таким образом, $2^{-2}$ можно записать как:

$$2^{-2} = \frac{1}{2^2}.$$

Шаг 5. Вычислим значение.

• $2^2 = 4$, следовательно:

$$\frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}.$$

Шаг 6. Получаем конечный результат.

• $\frac{1}{4} = 0,25$.

Ответ: $0,25$.

Ответы:

а) $\frac{1}{9}$

б) $0,25$