ГДЗ 10-11 Класс Номер 38.22 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите производную заданной функции:

а) $y = x^8$;

б) $y = x^{-4}$;

в) $y = x^{40}$;

г) $y = \frac{1}{x^6}$

Найти производную заданной функции:

а) $y = x^8$;
$y'(x) = (x^8)’ = 8x^7$;
Ответ: $8x^7$.

б) $y = x^{-4}$;
$y'(x) = (x^{-4})’ = -4x^{-5}$;
Ответ: $-4x^{-5}$.

в) $y = x^{40}$;
$y'(x) = (x^{40})’ = 40x^{39}$;
Ответ: $40x^{39}$.

г) $y = \frac{1}{x^6}$;
$y'(x) = (x^{-6})’ = -6x^{-7} = -\frac{6}{x^7}$;
Ответ: $-\frac{6}{x^7}$.

Чтобы найти производную функции вида

$$y = x^n$$

применяется правило степени:

$$\frac{d}{dx} \left( x^n \right) = n \cdot x^{n — 1}$$

Это правило работает при любом действительном значении $n$ (натуральном, отрицательном, дробном и т.д.).

а) $y = x^8$

Шаг 1. Распознаём форму функции:

$$y = x^n, \quad \text{где } n = 8$$

Шаг 2. Применим правило:

$$y'(x) = \frac{d}{dx} (x^8) = 8 \cdot x^{8 — 1} = 8x^7$$

Ответ:

$$\boxed{8x^7}$$

б) $y = x^{-4}$

Шаг 1. Распознаём форму:

$$y = x^n, \quad \text{где } n = -4$$

Шаг 2. Применим правило:

$$y'(x) = \frac{d}{dx} (x^{-4}) = -4 \cdot x^{-4 — 1} = -4x^{-5}$$

Ответ:

$$\boxed{-4x^{-5}}$$

в) $y = x^{40}$

Шаг 1. Функция имеет вид:

$$y = x^n, \quad n = 40$$

Шаг 2. Найдём производную:

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(x^{40}) = 40 \cdot x^{40 — 1} = 40x^{39}$$

Ответ:

$$\boxed{40x^{39}}$$

г) $y = \frac{1}{x^6}$

Шаг 1. Перепишем дробь в виде степени:

$$y = \frac{1}{x^6} = x^{-6}$$

Шаг 2. Теперь $n = -6$, применим правило:

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(x^{-6}) = -6 \cdot x^{-6 — 1} = -6x^{-7}$$

Шаг 3. Запишем ответ в виде дроби:

$$-6x^{-7} = -\frac{6}{x^7}$$

Ответ:

$$\boxed{-\frac{6}{x^7}}$$

Все ответы:

а) $\boxed{8x^7}$

б) $\boxed{-4x^{-5}}$

в) $\boxed{40x^{39}}$

г) $\boxed{{\displaystyle -\frac{6}{x^7}}}$