ГДЗ 10-11 Класс Номер 38.23 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти производную заданной функции:

а) $y = x^{\frac{3}{5}}$;
$y'(x) = \left( x^{\frac{3}{5}} \right)’ = \frac{3}{5} x^{-\frac{2}{5}}$;
Ответ: $\frac{3}{5} x^{-\frac{2}{5}}$.

б) $y = \sqrt[4]{x^5}$;
$y'(x) = \left( x^{\frac{5}{4}} \right)’ = \frac{5}{4} x^{\frac{1}{4}} = \frac{5 \sqrt[4]{x}}{4}$;
Ответ: $\frac{5 \sqrt[4]{x}}{4}$.

в) $y = x^{\frac{7}{2}}$;
$y'(x) = \left( x^{\frac{7}{2}} \right)’ = \frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}}$;
Ответ: $\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}}$.

г) $y = \sqrt[5]{x}$;
$y'(x) = \left( x^{\frac{1}{5}} \right)’ = \frac{1}{5} x^{-\frac{4}{5}} = \frac{1}{5 \sqrt[5]{x^4}}$;
Ответ: $\frac{1}{5 \sqrt[5]{x^4}}$.

а) $y = x^{\frac{3}{5}}$

Функция задана в виде степени:

$$y = x^{\frac{3}{5}}$$

Применим правило производной степенной функции:

$$\frac{d}{dx} \left( x^n \right) = n \cdot x^{n — 1}$$

Здесь:

$$n = \frac{3}{5}$$

Применяем формулу:

$$y'(x) = \frac{3}{5} \cdot x^{\frac{3}{5} — 1}$$

Вычитаем степени:

$$\frac{3}{5} — 1 = \frac{3}{5} — \frac{5}{5} = -\frac{2}{5}$$

Получаем:

$$y'(x) = \frac{3}{5} x^{-\frac{2}{5}}$$

Ответ:

$$\frac{3}{5} x^{-\frac{2}{5}}$$

б) $y = \sqrt[4]{x^5}$

Преобразуем радикал в степень:

$$\sqrt[4]{x^5} = x^{\frac{5}{4}}$$

Теперь имеем:

$$y = x^{\frac{5}{4}}$$

Используем то же правило:

$$y'(x) = \frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} — 1}$$

Считаем степень:

$$\frac{5}{4} — 1 = \frac{5}{4} — \frac{4}{4} = \frac{1}{4}$$

Получаем:

$$y'(x) = \frac{5}{4} x^{\frac{1}{4}}$$

Преобразуем степень обратно в радикал:

$$x^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{x} \Rightarrow y'(x) = \frac{5 \sqrt[4]{x}}{4}$$

Ответ:

$$\frac{5 \sqrt[4]{x}}{4}$$

в) $y = x^{\frac{7}{2}}$

Функция в степенном виде:

$$y = x^{\frac{7}{2}}$$

Применяем правило:

$$y'(x) = \frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} — 1}$$

Вычитаем степень:

$$\frac{7}{2} — 1 = \frac{7}{2} — \frac{2}{2} = \frac{5}{2}$$

Получаем:

$$y'(x) = \frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}}$$

Ответ:

$$\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}}$$

г) $y = \sqrt[5]{x}$

Запишем корень в виде степени:

$$\sqrt[5]{x} = x^{\frac{1}{5}}$$

Теперь:

$$y = x^{\frac{1}{5}}$$

Применим формулу:

$$y'(x) = \frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} — 1}$$

Вычитаем степень:

$$\frac{1}{5} — 1 = \frac{1}{5} — \frac{5}{5} = -\frac{4}{5}$$

Получаем:

$$y'(x) = \frac{1}{5} x^{-\frac{4}{5}}$$

Переведём результат в радикальную форму:

$$x^{-\frac{4}{5}} = \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}} = \frac{1}{\sqrt[5]{x^4}}$$

Итак:

$$y'(x) = \frac{1}{5 \sqrt[5]{x^4}}$$

Ответ:

$$\frac{1}{5 \sqrt[5]{x^4}}$$