ГДЗ 10-11 Класс Номер 38.24 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти производную заданной функции:

а) $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$;

$y'(x) = \left( x^{-\frac{1}{2}} \right)’ = -\frac{1}{2} x^{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{2\sqrt{x^3}}$;

Ответ: $-\frac{1}{2\sqrt{x^3}}$

б) $y = \frac{1}{x^{\frac{3}{5}}}$;

$y'(x) = \left( x^{-\frac{3}{5}} \right)’ = -\frac{3}{5} x^{-\frac{8}{5}} = -\frac{3}{5x^{\frac{8}{5}}}$;

Ответ: $-\frac{3}{5x^{\frac{8}{5}}}$

в) $y = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$;

$y'(x) = \left( x^{-\frac{1}{3}} \right)’ = -\frac{1}{3} x^{-\frac{4}{3}} = -\frac{1}{3\sqrt[3]{x^4}}$;

Ответ: $-\frac{1}{3\sqrt[3]{x^4}}$

г) $y = \frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$;

$y'(x) = \left( x^{-\frac{5}{3}} \right)’ = -\frac{5}{3} x^{-\frac{8}{3}} = -\frac{5}{3x^{\frac{8}{3}}}$;

Ответ: $-\frac{5}{3x^{\frac{8}{3}}}$$-\frac{5}{3x^{\frac{8}{3}}}$

а) $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$

Шаг 1. Представим корень в виде степени:

$$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}}$$

Шаг 2. Запишем функцию:

$$y = x^{-\frac{1}{2}}$$

Шаг 3. Применим правило производной степенной функции:

$$\frac{d}{dx}(x^n) = n \cdot x^{n — 1}$$

Шаг 4. Найдём производную:

$$y'(x) = -\frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2} — 1}$$

Шаг 5. Вычтем степени:

$$-\frac{1}{2} — 1 = -\frac{3}{2}$$

Шаг 6. Подставим результат:

$$y'(x) = -\frac{1}{2} x^{-\frac{3}{2}}$$

Шаг 7. Переведём в дробно-радикальную форму:

$$x^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{x^3}} \Rightarrow y'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{x^3}}$$

Ответ:

$$-\frac{1}{2\sqrt{x^3}}$$

б) $y = \frac{1}{x^{\frac{3}{5}}}$

Шаг 1. Перепишем дробь как степень с отрицательным показателем:

$$\frac{1}{x^{\frac{3}{5}}} = x^{-\frac{3}{5}}$$

Шаг 2. Запишем:

$$y = x^{-\frac{3}{5}}$$

Шаг 3. Применим правило производной:

$$y'(x) = -\frac{3}{5} x^{-\frac{3}{5} — 1}$$

Шаг 4. Вычислим показатель:

$$-\frac{3}{5} — 1 = -\frac{8}{5}$$

Шаг 5. Подставим:

$$y'(x) = -\frac{3}{5} x^{-\frac{8}{5}}$$

Шаг 6. Запишем в виде дроби:

$$x^{-\frac{8}{5}} = \frac{1}{x^{\frac{8}{5}}} \Rightarrow y'(x) = -\frac{3}{5x^{\frac{8}{5}}}$$

Ответ:

$$-\frac{3}{5x^{\frac{8}{5}}}$$

в) $y = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$

Шаг 1. Представим корень как степень:

$$\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt[3]{x}} = x^{-\frac{1}{3}}$$

Шаг 2. Запишем:

$$y = x^{-\frac{1}{3}}$$

Шаг 3. Найдём производную:

$$y'(x) = -\frac{1}{3} x^{-\frac{1}{3} — 1}$$

Шаг 4. Складываем степени:

$$-\frac{1}{3} — 1 = -\frac{4}{3}$$

Шаг 5. Подставим:

$$y'(x) = -\frac{1}{3} x^{-\frac{4}{3}}$$

Шаг 6. Запишем в радикальной форме:

$$x^{-\frac{4}{3}} = \frac{1}{x^{\frac{4}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^4}} \Rightarrow y'(x) = -\frac{1}{3\sqrt[3]{x^4}}$$

Ответ:

$$-\frac{1}{3\sqrt[3]{x^4}}$$

г) $y = \frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$

Шаг 1. Запишем с отрицательной степенью:

$$\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}} = x^{-\frac{5}{3}}$$

Шаг 2. Запишем функцию:

$$y = x^{-\frac{5}{3}}$$

Шаг 3. Найдём производную:

$$y'(x) = -\frac{5}{3} x^{-\frac{5}{3} — 1}$$

Шаг 4. Складываем показатели:

$$-\frac{5}{3} — 1 = -\frac{8}{3}$$

Шаг 5. Подставим:

$$y'(x) = -\frac{5}{3} x^{-\frac{8}{3}}$$

Шаг 6. Запишем в виде дроби:

$$x^{-\frac{8}{3}} = \frac{1}{x^{\frac{8}{3}}} \Rightarrow y'(x) = -\frac{5}{3x^{\frac{8}{3}}}$$

Ответ:

$$-\frac{5}{3x^{\frac{8}{3}}}$$