ГДЗ 10-11 Класс Номер 38.25 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти производную заданной функции:

а) $y = x\sqrt{x} = x^1 \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}$;
$y'(x) = \left( x^{\frac{3}{2}} \right)’ = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} = \frac{3\sqrt{x}}{2}$;

Ответ: $\frac{3\sqrt{x}}{2}$.

б) $y = \frac{x^2}{\sqrt{x}} = \frac{x^2}{x^{\frac{1}{2}}} = x^{\frac{3}{2}}$;
$y'(x) = \left( x^{\frac{3}{2}} \right)’ = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} = \frac{3\sqrt{x}}{2}$;

Ответ: $\frac{3\sqrt{x}}{2}$.

в) $y = \frac{\sqrt[3]{x}}{x} = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^1} = x^{-\frac{2}{3}}$;
$y'(x) = \left( x^{-\frac{2}{3}} \right)’ = -\frac{2}{3} x^{-\frac{5}{3}} = -\frac{2}{3\sqrt[3]{x^5}}$;

Ответ: $-\frac{2}{3\sqrt[3]{x^5}}$.

г) $y = x^2 \cdot \sqrt[3]{x} = x^2 \cdot x^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{7}{3}}$;
$y'(x) = \left( x^{\frac{7}{3}} \right)’ = \frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} = \frac{7\sqrt[3]{x^4}}{3}$;

Ответ: $\frac{7\sqrt[3]{x^4}}{3}$.

а) $y = x\sqrt{x}$

Шаг 1. Перепишем выражение в виде степенной функции:

$$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \Rightarrow y = x^1 \cdot x^{\frac{1}{2}}$$

Шаг 2. Используем правило умножения степеней с одинаковым основанием:

$$x^1 \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{1 + \frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}$$

Шаг 3. Теперь дифференцируем:

$$y = x^{\frac{3}{2}} \Rightarrow y'(x) = \frac{d}{dx}(x^{\frac{3}{2}}) = \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} — 1}$$

Шаг 4. Вычислим показатель степени:

$$\frac{3}{2} — 1 = \frac{1}{2}$$

Шаг 5. Получаем производную:

$$y'(x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2} \sqrt{x}$$

Ответ:

$$\frac{3\sqrt{x}}{2}$$

б) $y = \frac{x^2}{\sqrt{x}}$

Шаг 1. Представим корень как степень:

$$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \Rightarrow y = \frac{x^2}{x^{\frac{1}{2}}}$$

Шаг 2. Используем правило деления степеней с одинаковым основанием:

$$\frac{x^2}{x^{\frac{1}{2}}} = x^{2 — \frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}$$

Шаг 3. Дифференцируем:

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(x^{\frac{3}{2}}) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2} \sqrt{x}$$

Ответ:

$$\frac{3\sqrt{x}}{2}$$

в) $y = \frac{\sqrt[3]{x}}{x}$

Шаг 1. Представим выражение в виде степеней:

$$\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}} \Rightarrow y = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^1}$$

Шаг 2. Используем правило деления степеней:

$$x^{\frac{1}{3} — 1} = x^{-\frac{2}{3}}$$

Шаг 3. Дифференцируем:

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(x^{-\frac{2}{3}}) = -\frac{2}{3} x^{-\frac{2}{3} — 1}$$

Шаг 4. Складываем показатели:

$$-\frac{2}{3} — 1 = -\frac{2}{3} — \frac{3}{3} = -\frac{5}{3}$$

Шаг 5. Подставляем:

$$y'(x) = -\frac{2}{3} x^{-\frac{5}{3}}$$

Шаг 6. Переводим обратно в радикальную форму:

$$x^{-\frac{5}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^5}} \Rightarrow y'(x) = -\frac{2}{3\sqrt[3]{x^5}}$$

Ответ:

$$-\frac{2}{3\sqrt[3]{x^5}}$$

г) $y = x^2 \cdot \sqrt[3]{x}$

Шаг 1. Перепишем через степени:

$$\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}} \Rightarrow y = x^2 \cdot x^{\frac{1}{3}}$$

Шаг 2. Применим правило умножения степеней:

$$x^2 \cdot x^{\frac{1}{3}} = x^{2 + \frac{1}{3}} = x^{\frac{7}{3}}$$

Шаг 3. Дифференцируем:

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(x^{\frac{7}{3}}) = \frac{7}{3} x^{\frac{7}{3} — 1}$$

Шаг 4. Вычтем степени:

$$\frac{7}{3} — 1 = \frac{7}{3} — \frac{3}{3} = \frac{4}{3}$$

Шаг 5. Получим:

$$y'(x) = \frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}}$$

Шаг 6. Переведём в радикальную форму:

$$x^{\frac{4}{3}} = \sqrt[3]{x^4} \Rightarrow y'(x) = \frac{7\sqrt[3]{x^4}}{3}$$

Ответ:

$$\frac{7\sqrt[3]{x^4}}{3}$$