ГДЗ 10-11 Класс Номер 38.27 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите значение производной функции y = g(x) в заданной точке $x_0$:

а) $g(x) = x^3 — 3\sqrt{x}$, $x_0 = 1$;

б) $g(x) = \sqrt[3]{3x — 1}$, $x_0 = \frac{2}{3}$;

в) $g(x) = x^{-1} + x^{-2}$, $x_0 = 1$;

г) $g(x) = \frac{1}{3}(5 — 2x)^{-3}$, $x_0 = 2$

Найти значение производной функции $y = g(x)$ в заданной точке $x_0$:

а) $g(x) = x^3 — 3\sqrt{x}$, $x_0 = 1$;

$g'(x) = (x^3)’ — 3(\sqrt{x})’ = 3x^2 — \frac{3}{2\sqrt{x}}$;

$g'(1) = 3 \cdot 1^2 — \frac{3}{2\sqrt{1}} = 3 — \frac{3}{2} = 3 — 1,5 = 1,5$;

Ответ: 1,5.

б) $g(x) = \sqrt[3]{3x — 1}$, $x_0 = \frac{2}{3}$;

$g'(x) = \left( (3x — 1)^{\frac{1}{3}} \right)’ = 3 \cdot \frac{1}{3}(3x — 1)^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{(3x — 1)^2}}$;

$g’\left( \frac{2}{3} \right) = \frac{1}{\sqrt[3]{\left(3 \cdot \frac{2}{3} — 1\right)^2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{(2 — 1)^2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{1^2}} = 1$;

Ответ: 1.

в) $g(x) = x^{-1} + x^{-2}$, $x_0 = 1$;

$g'(x) = (x^{-1})’ + (x^{-2})’ = -1 \cdot x^{-2} + (-2x^{-3}) = -\frac{1}{x^2} — \frac{2}{x^3}$;

$g'(1) = -\frac{1}{1^2} — \frac{2}{1^3} = -1 — 2 = -3$;

Ответ: -3.

г) $g(x) = \frac{1}{3}(5 — 2x)^{-3}$, $x_0 = 2$;

$g'(x) = \left( \frac{1}{3}(5 — 2x)^{-3} \right)’ = \frac{1}{3} \cdot (-2) \cdot (-3)(5 — 2x)^{-4} = \frac{2}{(5 — 2x)^4}$;

$g'(2) = \frac{2}{(5 — 2 \cdot 2)^4} = \frac{2}{(5 — 4)^4} = \frac{2}{1^4} = 2$;

Ответ: 2.

Будем использовать:

• Правило производной степенной функции:

  $$\frac{d}{dx}(x^n) = n \cdot x^{n — 1}$$

• Производная сложной функции:

  $$\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

а) $g(x) = x^3 — 3\sqrt{x}$, $x_0 = 1$

Шаг 1. Преобразуем корень в степень:

$$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \Rightarrow g(x) = x^3 — 3x^{\frac{1}{2}}$$

Шаг 2. Применим правило производной к каждому слагаемому:

$$g'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) — 3 \cdot \frac{d}{dx}(x^{\frac{1}{2}})$$

Шаг 3. Найдём производные:

• $\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$
• $\frac{d}{dx}(x^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$$g'(x) = 3x^2 — 3 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = 3x^2 — \frac{3}{2\sqrt{x}}$$

Шаг 4. Подставим $x_0 = 1$:

$$g'(1) = 3 \cdot 1^2 — \frac{3}{2\sqrt{1}} = 3 — \frac{3}{2} = 3 — 1.5 = 1.5$$

Ответ:

$$\boxed{1{,}5}$$

б) $g(x) = \sqrt[3]{3x — 1}$, $x_0 = \frac{2}{3}$

Шаг 1. Запишем функцию как степень:

$$g(x) = (3x — 1)^{\frac{1}{3}}$$

Шаг 2. Это сложная функция: внешняя $f(u) = u^{\frac{1}{3}}$, внутренняя $u = 3x — 1$

Применим производную сложной функции:

$$g'(x) = \frac{1}{3}(3x — 1)^{-\frac{2}{3}} \cdot \frac{d}{dx}(3x — 1)$$ $$\frac{d}{dx}(3x — 1) = 3$$ $$g'(x) = \frac{1}{3}(3x — 1)^{-\frac{2}{3}} \cdot 3 = (3x — 1)^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{(3x — 1)^{\frac{2}{3}}}$$

Шаг 3. Подставим $x_0 = \frac{2}{3}$:

$$g’\left( \frac{2}{3} \right) = \frac{1}{\left(3 \cdot \frac{2}{3} — 1\right)^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{(2 — 1)^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{1^{\frac{2}{3}}} = 1$$

Ответ:

$$\boxed{1}$$

в) $g(x) = x^{-1} + x^{-2}$, $x_0 = 1$

Шаг 1. Используем правило производной для степенных функций:

• $\frac{d}{dx}(x^{-1}) = -1 \cdot x^{-2}$
• $\frac{d}{dx}(x^{-2}) = -2 \cdot x^{-3}$

$$g'(x) = -x^{-2} — 2x^{-3}$$

Шаг 2. Подставим $x_0 = 1$:

$$g'(1) = -\frac{1}{1^2} — \frac{2}{1^3} = -1 — 2 = -3$$

Ответ:

$$\boxed{-3}$$

г) $g(x) = \frac{1}{3}(5 — 2x)^{-3}$, $x_0 = 2$

Шаг 1. Сложная функция:

• внешняя: $f(u) = u^{-3}$,
• внутренняя: $u = 5 — 2x$

$$g(x) = \frac{1}{3}(5 — 2x)^{-3}$$

Шаг 2. Применим производную:

$$g'(x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{dx}\left( (5 — 2x)^{-3} \right)$$ $$\frac{d}{dx}((5 — 2x)^{-3}) = -3(5 — 2x)^{-4} \cdot (-2) = 6(5 — 2x)^{-4}$$ $$g'(x) = \frac{1}{3} \cdot 6(5 — 2x)^{-4} = \frac{6}{3}(5 — 2x)^{-4} = 2(5 — 2x)^{-4}$$

Шаг 3. Подставим $x_0 = 2$:

$$g'(2) = 2(5 — 2 \cdot 2)^{-4} = 2(5 — 4)^{-4} = 2(1)^{-4} = 2$$

Ответ:

$$\boxed{2}$$