ГДЗ 10-11 Класс Номер 38.28 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$:

а) $f(x) = 4 — x^{-\frac{3}{4}}, \; x_0 = 1$;

$f'(x) = (4)’ — \left(x^{-\frac{3}{4}}\right)’ = 0 — \left(-\frac{3}{4}x^{-\frac{7}{4}}\right) = \frac{3}{4\sqrt[4]{x^7}}$;

$k = f'(1) = \frac{3}{4\sqrt[4]{1^7}} = \frac{3}{4} = 0,75$;

Ответ: 0,75.

б) $f(x) = 12x^{-\frac{1}{2}} — x, \; x_0 = 9$;

$f'(x) = 12\left(x^{-\frac{1}{2}}\right)’ — (x)’ = 12 \cdot \left(-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}\right) — 1 = -\frac{6}{\sqrt{x^3}} — 1$;

$k = f'(9) = -\frac{6}{\sqrt{9^3}} — 1 = -\frac{6}{3^3} — 1 = -\frac{6}{27} — 1 = -\frac{2}{9} — 1 = -1\frac{2}{9}$;

Ответ: $-1\frac{2}{9}$.

в) $f(x) = 2x^{\frac{2}{3}} — 1, \; x_0 = 8$;

$f'(x) = 2\left(x^{\frac{2}{3}}\right)’ — (1)’ = 2 \cdot \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} — 0 = \frac{4}{3\sqrt[3]{x}}$;

$k = f'(8) = \frac{4}{3\sqrt[3]{8}} = \frac{4}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$;

Ответ: $\frac{2}{3}$.

г) $f(x) = x^{-3} + 6\sqrt{x}, \; x_0 = 1$;

$f'(x) = (x^{-3})’ + 6(\sqrt{x})’ = -3x^{-4} + 6 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{3}{\sqrt{x}} — \frac{3}{x^4}$;

$k = f'(1) = \frac{3}{\sqrt{1}} — \frac{3}{1^4} = 3 — 3 = 0$;

Ответ: 0.

а) $f(x) = 4 — x^{-\frac{3}{4}}$, $x_0 = 1$

Шаг 1. Найдём производную функции:

• Производная константы: $\frac{d}{dx}(4) = 0$
• Производная степени:

  $$\frac{d}{dx}(x^{-\frac{3}{4}}) = -\frac{3}{4}x^{-\frac{7}{4}}$$

Шаг 2. Соберём производную:

$$f'(x) = 0 — \left(-\frac{3}{4}x^{-\frac{7}{4}}\right) = \frac{3}{4}x^{-\frac{7}{4}}$$

Перепишем в радикальной форме:

$$f'(x) = \frac{3}{4\sqrt[4]{x^7}}$$

Шаг 3. Подставим $x = 1$:

$$f'(1) = \frac{3}{4\sqrt[4]{1^7}} = \frac{3}{4 \cdot 1} = \frac{3}{4} = 0{,}75$$

Угловой коэффициент касательной:

$$\boxed{0{,}75}$$

б) $f(x) = 12x^{-\frac{1}{2}} — x$, $x_0 = 9$

Шаг 1. Найдём производную:

• $\frac{d}{dx}(12x^{-\frac{1}{2}}) = 12 \cdot \left( -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}} \right) = -\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}} = -\frac{6}{\sqrt{x^3}}$
• $\frac{d}{dx}(x) = 1$

$$f'(x) = -\frac{6}{\sqrt{x^3}} — 1$$

Шаг 2. Подставим $x = 9$:

$$\sqrt{9^3} = \sqrt{729} = 27 \Rightarrow f'(9) = -\frac{6}{27} — 1 = -\frac{2}{9} — 1 = -\frac{11}{9}$$ $$— \frac{11}{9} = -1\frac{2}{9}$$

Угловой коэффициент касательной:

$$\boxed{-1\frac{2}{9}}$$

в) $f(x) = 2x^{\frac{2}{3}} — 1$, $x_0 = 8$

Шаг 1. Найдём производную:

• $\frac{d}{dx}(x^{\frac{2}{3}}) = \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}$
• $\frac{d}{dx}(2x^{\frac{2}{3}}) = 2 \cdot \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} = \frac{4}{3}x^{-\frac{1}{3}}$

$$f'(x) = \frac{4}{3}x^{-\frac{1}{3}} = \frac{4}{3\sqrt[3]{x}}$$

Шаг 2. Подставим $x = 8$:

$$\sqrt[3]{8} = 2 \Rightarrow f'(8) = \frac{4}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

Угловой коэффициент касательной:

$$\boxed{\frac{2}{3}}$$

г) $f(x) = x^{-3} + 6\sqrt{x}$, $x_0 = 1$

Шаг 1. Перепишем в степенном виде:

$$f(x) = x^{-3} + 6x^{\frac{1}{2}}$$

Шаг 2. Найдём производную:

• $\frac{d}{dx}(x^{-3}) = -3x^{-4}$
• $\frac{d}{dx}(x^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
• $\frac{d}{dx}(6x^{\frac{1}{2}}) = 6 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{3}{\sqrt{x}}$

$$f'(x) = -\frac{3}{x^4} + \frac{3}{\sqrt{x}}$$

Шаг 3. Подставим $x = 1$:

$$f'(1) = -\frac{3}{1^4} + \frac{3}{\sqrt{1}} = -3 + 3 = 0$$

Угловой коэффициент касательной:

$$\boxed{{\displaystyle 0}}$$