ГДЗ 10-11 Класс Номер 38.3 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Построить и сравнить графики функций:
а) $y = \sqrt[3]{x}$ и $y = x^{\frac{1}{3}}$;
График функции $y = \sqrt[3]{x}$:

График функции $y = x^{\frac{1}{3}}$:

Графики совпадают на луче $[0; +\infty)$;

б) $y = \sqrt[4]{x}$ и $y = x^{\frac{1}{4}}$;
График функции $y = \sqrt[4]{x}$:

График функции $y = x^{\frac{1}{4}}$:

Графики полностью совпадают

а) $y = \sqrt[3]{x}$ и $y = x^{\frac{1}{3}}$

1. Аналитическое выражение

Функции записаны в двух эквивалентных формах:

• $y = \sqrt[3]{x}$ — корневая запись
• $y = x^{\frac{1}{3}}$ — степенная запись

Это — одна и та же функция, так как:

$$\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$$

2. Область определения

Корень нечётной степени (в данном случае — кубический корень) определён при любых действительных значениях $x$.

Вывод:

$$D(y) = (-\infty; +\infty)$$

3. Поведение функции

Функция $y = x^{\frac{1}{3}}$ обладает следующими свойствами:

• Нечётная функция:

  $$y(-x) = (-x)^{\frac{1}{3}} = -x^{\frac{1}{3}} = -y(x)$$

  Следовательно, график симметричен относительно начала координат.

• Монотонность:
  Функция монотонно возрастает на всей области определения.
• Кривизна (выпуклость):
  • Для $x > 0$: функция выпуклая вниз.
  • Для $x < 0$: функция выпуклая вверх.
• Значения функции:
  

  $x$	$-8$	$-1$	$0$	$1$	$8$
  $y$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$

4. Сравнение графиков

• Формулы $\sqrt[3]{x}$ и $x^{\frac{1}{3}}$ задают одну и ту же функцию.
• Следовательно, графики полностью совпадают на всей области определения: $(-\infty; +\infty)$.
• Примечание: В исходном тексте указано, что графики совпадают на луче $[0; +\infty)$. Это некорректно, потому что функции равны также и при отрицательных значениях $x$. Видимо, ошибка или опечатка.

б) $y = \sqrt[4]{x}$ и $y = x^{\frac{1}{4}}$

1. Аналитическое выражение

Формулы:

• $y = \sqrt[4]{x}$ — корневая форма (четвёртый корень из $x$)
• $y = x^{\frac{1}{4}}$ — степенная форма (четвёртая степень корня)

Они обозначают одну и ту же функцию, так как:

$$\sqrt[4]{x} = x^{\frac{1}{4}}$$

2. Область определения

Корень чётной степени (в данном случае — четвёртой степени) определён только при неотрицательных значениях $x$.

Вывод:

$$D(y) = [0; +\infty)$$

3. Поведение функции

Функция $y = x^{\frac{1}{4}}$ обладает следующими свойствами:

• Функция нечётная не является, так как область определения не симметрична.
• Монотонность:
  Функция возрастает на всей области определения.
• Кривизна (выпуклость):
  Функция выпуклая вверх на $(0; +\infty)$.
• Значения функции:
  

  $x$	0	1	16
  $y$	0	1	2

• Поведение функции:
  • Медленно растёт, особенно на больших значениях $x$.
  • При $x \to 0^+$, $y \to 0$
  • При $x \to +\infty$, $y \to +\infty$, но очень медленно

4. Сравнение графиков

• Обе записи задают одну и ту же функцию
• Области определения совпадают: $[0; +\infty)$
• Графики полностью совпадают
• График начинается в точке (0;0), медленно поднимается вверх, является вогнутой кривой (выпуклой вверх)