ГДЗ 10-11 Класс Номер 38.30 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Написать уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$:

а) $y = x^4 — 3x^3, \; a = 2$;

Значение функции:
$y(a) = 2^4 — 3 \cdot 2^3 = 16 — 3 \cdot 8 = 16 — 24 = -8$;

Значение производной:
$y'(x) = (x^4)’ — 3(x^3)’ = 4x^3 — 3 \cdot 3x^2 = 4x^3 — 9x^2$;
$y'(a) = 4 \cdot 2^3 — 9 \cdot 2^2 = 4 \cdot 8 — 9 \cdot 4 = 32 — 36 = -4$;

Уравнение касательной:
$y = f(a) + f'(a)(x — a)$;
$y = -8 — 4(x — 2) = -8 — 4x + 8 = -4x$;

Ответ: $y = -4x$.

б) $y = \sqrt[3]{3x — 1}, \; a = 3$;

Значение функции:
$y(a) = \sqrt[3]{3 \cdot 3 — 1} = \sqrt[3]{9 — 1} = \sqrt[3]{8} = 2$;

Значение производной:
$y'(x) = \left( (3x — 1)^{\frac{1}{3}} \right)’ = 3 \cdot \frac{1}{3}(3x — 1)^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{(3x — 1)^2}}$;
$y'(a) = \frac{1}{\sqrt[3]{(3 \cdot 3 — 1)^2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{(9 — 1)^2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{8^2}} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$;

Уравнение касательной:
$y = f(a) + f'(a)(x — a)$;
$y = 2 + \frac{1}{4}(x — 3) = 2 + \frac{1}{4}x — \frac{3}{4} = \frac{1}{4}x + \frac{5}{4}$;

Ответ: $y = \frac{1}{4}x + \frac{5}{4}$.

в) $y = 3x^3 — 5x^2 — 4, \; a = 2$;

Значение функции:
$y(a) = 3 \cdot 2^3 — 5 \cdot 2^2 — 4 = 3 \cdot 8 — 5 \cdot 4 — 4 = 24 — 20 — 4 = 0$;

Значение производной:
$y'(x) = 3(x^3)’ — 5(x^2)’ — (4)’ = 3 \cdot 3x^2 — 5 \cdot 2x — 0 = 9x^2 — 10x$;
$y'(a) = 9 \cdot 2^2 — 10 \cdot 2 = 9 \cdot 4 — 20 = 36 — 20 = 16$;

Уравнение касательной:
$y = f(a) + f'(a)(x — a)$;
$y = 0 + 16(x — 2) = 16x — 32$;

Ответ: $y = 16x — 32$.

г) $y = (2x + 5)^{-\frac{1}{2}}, \; a = 2$;

Значение функции:
$y(a) = (2 \cdot 2 + 5)^{-\frac{1}{2}} = (4 + 5)^{-\frac{1}{2}} = 9^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3}$;

Значение производной:
$y'(x) = \left( (2x + 5)^{-\frac{1}{2}} \right)’ = 2 \cdot \left( -\frac{1}{2}(2x + 5)^{-\frac{3}{2}} \right) = -\frac{1}{\sqrt{(2x + 5)^3}}$;
$y'(a) = -\frac{1}{\sqrt{(2 \cdot 2 + 5)^3}} = -\frac{1}{\sqrt{(4 + 5)^3}} = -\frac{1}{\sqrt{9^3}} = -\frac{1}{3^3} = -\frac{1}{27}$;

Уравнение касательной:
$y = f(a) + f'(a)(x — a)$;
$y = \frac{1}{3} — \frac{1}{27}(x — 2) = \frac{1}{3} — \frac{1}{27}x + \frac{2}{27} = \frac{11}{27} — \frac{1}{27}x$;

Ответ: $y = \frac{11}{27} — \frac{1}{27}x$.

Для каждой функции $y = f(x)$ найти уравнение касательной к графику в точке с абсциссой $x = a$.

Общий план решения:

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой $x = a$, нужно:

1. Найти значение функции в точке:

   $$f(a)$$

   — это ордината точки касания.

2. Найти значение производной функции в точке:

   $$f'(a)$$

   — это угловой коэффициент касательной, т.е. её наклон.

3. Использовать формулу уравнения касательной:

   $$y = f(a) + f'(a)(x — a)$$

   — это уравнение прямой, проходящей через точку $(a, f(a))$ с наклоном $f'(a)$.

а) $y = x^4 — 3x^3$, $a = 2$

1. Значение функции:

$$f(2) = 2^4 — 3 \cdot 2^3 = 16 — 3 \cdot 8 = 16 — 24 = -8$$

2. Производная функции:

$$f(x) = x^4 — 3x^3$$

Применим правило дифференцирования суммы и степенной функции:

• $(x^4)’ = 4x^3$
• $(3x^3)’ = 3 \cdot 3x^2 = 9x^2$

Итак:

$$f'(x) = 4x^3 — 9x^2$$

3. Значение производной в точке:

$$f'(2) = 4 \cdot 2^3 — 9 \cdot 2^2 = 4 \cdot 8 — 9 \cdot 4 = 32 — 36 = -4$$

4. Уравнение касательной:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a) = -8 — 4(x — 2)$$

Раскроем скобки:

$$y = -8 — 4x + 8 = -4x$$

Ответ: $\boxed{y = -4x}$

б) $y = \sqrt[3]{3x — 1}$, $a = 3$

1. Значение функции:

$$f(3) = \sqrt[3]{3 \cdot 3 — 1} = \sqrt[3]{9 — 1} = \sqrt[3]{8} = 2$$

2. Производная функции:

Функция имеет вид:

$$f(x) = (3x — 1)^{1/3}$$

Производная сложной функции:

$$\left((3x — 1)^{1/3}\right)’ = \frac{1}{3}(3x — 1)^{-2/3} \cdot (3x — 1)’ = \frac{1}{3}(3x — 1)^{-2/3} \cdot 3$$

Сократим:

$$f'(x) = \frac{3}{3} \cdot (3x — 1)^{-2/3} = (3x — 1)^{-2/3} = \frac{1}{(3x — 1)^{2/3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{(3x — 1)^2}}$$

3. Значение производной в точке:

$$f'(3) = \frac{1}{\sqrt[3]{(3 \cdot 3 — 1)^2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{8^2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{64}} = \frac{1}{4}$$

4. Уравнение касательной:

$$y = f(3) + f'(3)(x — 3) = 2 + \frac{1}{4}(x — 3)$$

Раскроем скобки:

$$y = 2 + \frac{1}{4}x — \frac{3}{4} = \frac{1}{4}x + \left(2 — \frac{3}{4}\right) = \frac{1}{4}x + \frac{5}{4}$$

Ответ: $\boxed{y = \frac{1}{4}x + \frac{5}{4}}$

в) $y = 3x^3 — 5x^2 — 4$, $a = 2$

1. Значение функции:

$$f(2) = 3 \cdot 2^3 — 5 \cdot 2^2 — 4 = 3 \cdot 8 — 5 \cdot 4 — 4 = 24 — 20 — 4 = 0$$

2. Производная функции:

$$f(x) = 3x^3 — 5x^2 — 4$$

• $(3x^3)’ = 9x^2$
• $(5x^2)’ = 10x$
• $(-4)’ = 0$

$$f'(x) = 9x^2 — 10x$$

3. Значение производной в точке:

$$f'(2) = 9 \cdot 4 — 10 \cdot 2 = 36 — 20 = 16$$

4. Уравнение касательной:

$$y = f(2) + f'(2)(x — 2) = 0 + 16(x — 2) = 16x — 32$$

Ответ: $\boxed{y = 16x — 32}$

г) $y = (2x + 5)^{-1/2}$, $a = 2$

1. Значение функции:

$$f(2) = (2 \cdot 2 + 5)^{-1/2} = (4 + 5)^{-1/2} = 9^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3}$$

2. Производная функции:

Применим правило производной сложной функции:

$$f(x) = (2x + 5)^{-1/2}$$

Производная:

$$f'(x) = -\frac{1}{2}(2x + 5)^{-3/2} \cdot (2x + 5)’ = -\frac{1}{2}(2x + 5)^{-3/2} \cdot 2$$

Сократим:

$$f'(x) = -\frac{1}{(2x + 5)^{3/2}} = -\frac{1}{\sqrt{(2x + 5)^3}}$$

3. Значение производной в точке:

$$f'(2) = -\frac{1}{\sqrt{(2 \cdot 2 + 5)^3}} = -\frac{1}{\sqrt{(4 + 5)^3}} = -\frac{1}{\sqrt{9^3}} = -\frac{1}{3^3} = -\frac{1}{27}$$

4. Уравнение касательной:

$$y = f(2) + f'(2)(x — 2) = \frac{1}{3} — \frac{1}{27}(x — 2)$$

Раскроем скобки:

$$y = \frac{1}{3} — \frac{1}{27}x + \frac{2}{27}$$

Приведём к общему знаменателю:

• $\frac{1}{3} = \frac{9}{27}$
• $\frac{9}{27} + \frac{2}{27} = \frac{11}{27}$

Итак:

$$y = -\frac{1}{27}x + \frac{11}{27}$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle y=\frac{11}{27}-\frac{1}{27}x}}$