ГДЗ 10-11 Класс Номер 38.31 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Исследовать функцию на монотонность и экстремумы:

а)

$$y = \frac{2}{3}x\sqrt{x} — 2x;$$

Производная функции:

$$y'(x) = \frac{2}{3}\left(x^{\frac{3}{2}}\right)’ — (2x)’ = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} — 2 = \sqrt{x} — 2;$$

Промежуток возрастания:

$$\sqrt{x} — 2 \geq 0;$$ $$\sqrt{x} \geq 2;$$ $$x \geq 4;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x \geq 0;$$

Точка минимума:

$$y(4) = \frac{2}{3} \cdot 4\sqrt{4} — 2 \cdot 4 = \frac{8}{3} \cdot 2 — 8 = \frac{16}{3} — \frac{24}{3} = -\frac{8}{3};$$

Ответ: возрастает на $[4; +\infty)$ и убывает на $[0; 4]$;

$$x = 4 \text{ – точка минимума, } y_{min} = -\frac{8}{3}.$$

б)

$$y = \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} — x;$$

Производная функции:

$$y'(x) = \frac{3}{2}\left(x^{\frac{2}{3}}\right)’ — (x)’ = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} — 1 = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} — 1;$$

Промежуток возрастания:

$$\frac{1}{\sqrt[3]{x}} — 1 \geq 0;$$ $$\frac{1 — \sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}} \geq 0;$$ $$\frac{\sqrt[3]{x} — 1}{\sqrt[3]{x}} \leq 0;$$ $$0 < x \leq 1;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x \geq 0;$$

Точка максимума:

$$y(1) = \frac{3}{2} \cdot 1^{\frac{2}{3}} — 1 = \frac{3}{2} — 1 = 1,5 — 1 = 0,5;$$

Ответ: возрастает на $[0; 1]$ и убывает на $[1; +\infty)$;

$$x=1\text{ – точка максимума, }{y}_{max}=0,5.$$

Исследовать функцию на монотонность и экстремумы.

а) $y = \dfrac{2}{3}x\sqrt{x} — 2x$

Шаг 1: Упрощение функции

Представим корень в виде степени:

$$\sqrt{x} = x^{1/2}, \quad \text{а значит:} \quad x \cdot \sqrt{x} = x^{3/2}$$

Функция переписывается как:

$$y = \frac{2}{3}x^{3/2} — 2x$$

Шаг 2: Нахождение производной

Используем правило:

$$(x^n)’ = n \cdot x^{n — 1}$$

Продифференцируем:

$$y'(x) = \frac{2}{3} \cdot \left(x^{3/2}\right)’ — (2x)’ = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{1/2} — 2$$

Упростим:

$$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1, \quad \Rightarrow y'(x) = \sqrt{x} — 2$$

Шаг 3: Критическая точка

Решим уравнение:

$$y'(x) = \sqrt{x} — 2 = 0 \Rightarrow \sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 4$$

Шаг 4: Область определения

Функция содержит корень $\sqrt{x}$, который определён при:

$$x \geq 0$$

Шаг 5: Интервалы монотонности

Исследуем знак производной:

$$y'(x) = \sqrt{x} — 2$$

• При $0 \leq x < 4$: $\sqrt{x} < 2 \Rightarrow y'(x) < 0$ — функция убывает
• При $x > 4$: $\sqrt{x} > 2 \Rightarrow y'(x) > 0$ — функция возрастает

Шаг 6: Точка экстремума

В точке $x = 4$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит это точка минимума.

Найдём значение функции:

$$y(4) = \frac{2}{3} \cdot 4 \cdot \sqrt{4} — 2 \cdot 4 = \frac{8}{3} \cdot 2 — 8 = \frac{16}{3} — \frac{24}{3} = -\frac{8}{3}$$

Ответ (а):

• Убывает на $[0; 4]$
• Возрастает на $[4; +\infty)$
• Точка минимума: $x = 4$, $y_{\min} = -\dfrac{8}{3}$

б) $y = \dfrac{3}{2}x^{2/3} — x$

Шаг 1: Производная функции

Используем:

$$(x^{2/3})’ = \frac{2}{3}x^{-1/3}$$

Тогда:

$$y'(x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}x^{-1/3} — 1 = x^{-1/3} — 1 = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} — 1$$

Шаг 2: Критическая точка

Решим:

$$\frac{1}{\sqrt[3]{x}} — 1 = 0 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt[3]{x}} = 1 \Rightarrow \sqrt[3]{x} = 1 \Rightarrow x = 1$$

Шаг 3: Область определения

Функция $x^{2/3}$ определена при всех $x \in \mathbb{R}$.
Производная $\frac{1}{\sqrt[3]{x}} — 1$ определена при $x \ne 0$

Шаг 4: Знаки производной и монотонность

Рассмотрим знак производной:

$$y'(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} — 1$$

• $x \in (0; 1)$: $\sqrt[3]{x} < 1 \Rightarrow y'(x) > 0$ — функция возрастает
• $x > 1$: $\sqrt[3]{x} > 1 \Rightarrow y'(x) < 0$ — функция убывает
• $x < 0$: $\sqrt[3]{x} < 0 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt[3]{x}} < 0 \Rightarrow y'(x) < 0$ — функция убывает

Шаг 5: Экстремум

При $x = 1$ производная меняется с плюса на минус ⇒ точка максимума.

Вычислим значение функции:

$$y(1) = \frac{3}{2} \cdot 1^{2/3} — 1 = \frac{3}{2} — 1 = \frac{1}{2}$$

Ответ (б):

• Убывает на $(-\infty; 0) \cup [1; +\infty)$
• Возрастает на $(0; 1]$
• Точка максимума: $x = 1$, $y_{\max }={\displaystyle \frac{1}{2}}$$y = \dfrac{1}{2}$