ГДЗ 10-11 Класс Номер 38.35 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить уравнение $g'(x) = 0$, если:

а) $g(x) = 2\sqrt{x} — x$;

Производная функции:

$$g'(x) = 2(\sqrt{x})’ — (x)’ = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} — 1 = \frac{1}{\sqrt{x}} — 1;$$

Решение уравнения:

$$\frac{1}{\sqrt{x}} — 1 = 0; \\ 1 — \sqrt{x} = 0; \\ \sqrt{x} = 1; \\ x = 1;$$

Ответ: 1.

б) $g(x) = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} — \frac{12}{5}x^{\frac{5}{4}} + 2x$;

Производная функции:

$$g^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{2}{3}(x^{\frac{3}{2}}{)}^{\mathrm{\prime }}-\frac{12}{5}(x^{\frac{5}{4}}{)}^{\mathrm{\prime }}+(2x{)}^{\mathrm{\prime }}=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}{x}^{\frac{1}{2}}-\frac{12}{5}\cdot \frac{5}{4}{x}^{\frac{1}{4}}+2=$$

$$g'(x) = \frac{2}{3}(x^{\frac{3}{2}})’ — \frac{12}{5}(x^{\frac{5}{4}})’ + (2x)’ = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} — \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{4}x^{\frac{1}{4}} + 2 = \sqrt{x} — 3\sqrt[4]{x} + 2;$$

Решение уравнения:

$$\sqrt{x} — 3\sqrt[4]{x} + 2 = 0;$$

Положим $t = \sqrt[4]{x}$, тогда $\sqrt{x} = t^2$, уравнение:

$$t^2 — 3t + 2 = 0;$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = 9 — 8 = 1;$$ $$t_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1, \quad t_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2;$$ $$x_1 = 1^4 = 1, \quad x_2 = 2^4 = 16;$$

Ответ: 1; 16.

в) $g(x) = \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} — 2x$;

Производная функции:

$$g'(x) = \frac{3}{4}(x^{\frac{4}{3}})’ — (2x)’ = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}x^{\frac{1}{3}} — 2 = \sqrt[3]{x} — 2;$$

Решение уравнения:

$$\sqrt[3]{x} — 2 = 0; \\ \sqrt[3]{x} = 2; \\ x = 8;$$

Ответ: 8.

г) $g(x) = \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} — \frac{6}{7}x^{\frac{7}{6}} — 2x$;

Производная функции:

$$g^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{3}{4}(x^{\frac{4}{3}}{)}^{\mathrm{\prime }}-\frac{6}{7}(x^{\frac{7}{6}}{)}^{\mathrm{\prime }}-(2x{)}^{\mathrm{\prime }}=\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{3}{x}^{\frac{1}{3}}-\frac{6}{7}\cdot \frac{7}{6}{x}^{\frac{1}{6}}-2=$$

$$g'(x) = \frac{3}{4}(x^{\frac{4}{3}})’ — \frac{6}{7}(x^{\frac{7}{6}})’ — (2x)’ = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}x^{\frac{1}{3}} — \frac{6}{7} \cdot \frac{7}{6}x^{\frac{1}{6}} — 2 = \sqrt[3]{x} — \sqrt[6]{x} — 2;$$

Решение уравнения:

$$\sqrt[3]{x} — \sqrt[6]{x} — 2 = 0;$$

Положим $t = \sqrt[6]{x}$, тогда $\sqrt[3]{x} = t^2$, уравнение:

$$t^2 — t — 2 = 0;$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-1)^2 + 8 = 9;$$ $$t_1=\frac{1-3}{2}=-1\text{(не подходит — шестая степень неотрицательна)},$$

$$t_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1 \quad \text{(не подходит — шестая степень неотрицательна)}, \\ t_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \Rightarrow x = 2^6 = 64;$$

Ответ: 64.

Решить уравнение $g'(x) = 0$

а) $g(x) = 2\sqrt{x} — x$

Шаг 1: Найдём производную функции

• Вспомним:
  $(\sqrt{x})’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
  $(x)’ = 1$
• Тогда:

  $$g'(x) = \frac{d}{dx}\left(2\sqrt{x} — x\right) = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} — 1 = \frac{1}{\sqrt{x}} — 1$$

Шаг 2: Решим уравнение $g'(x) = 0$

$$\frac{1}{\sqrt{x}} — 1 = 0 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x}} = 1 \Rightarrow \sqrt{x} = 1 \Rightarrow x = 1$$

Шаг 3: Проверка области определения

• $\sqrt{x}$ определена при $x \geq 0$, корень из 1 — допустим.

Ответ: $\boxed{1}$

б) $g(x) = \frac{2}{3}x^{3/2} — \frac{12}{5}x^{5/4} + 2x$

Шаг 1: Найдём производную

Используем формулу:

$$(x^n)’ = n \cdot x^{n — 1}$$

• $(x^{3/2})’ = \frac{3}{2}x^{1/2}$
• $(x^{5/4})’ = \frac{5}{4}x^{1/4}$
• $(x)’ = 1$

Подставляем:

$$g'(x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{1/2} — \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{4}x^{1/4} + 2$$

Сократим множители:

• $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1$
• $\frac{12}{5} \cdot \frac{5}{4} = 3$

Итак:

$$g'(x) = x^{1/2} — 3x^{1/4} + 2 = \sqrt{x} — 3\sqrt[4]{x} + 2$$

Шаг 2: Решим уравнение $g'(x) = 0$

Пусть $t = \sqrt[4]{x}$, тогда:

• $\sqrt{x} = (\sqrt[4]{x})^2 = t^2$

Подставим:

$$t^2 — 3t + 2 = 0$$

Шаг 3: Решим квадратное уравнение

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1$$ $$t_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1, \quad t_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2$$

Шаг 4: Найдём $x$

$$x = t^4 \Rightarrow x_1 = 1^4 = 1, \quad x_2 = 2^4 = 16$$

Шаг 5: Проверка

• Все корни положительные — входят в область определения

Ответ: $\boxed{1;\ 16}$

в) $g(x) = \frac{3}{4}x^{4/3} — 2x$

Шаг 1: Найдём производную

• $(x^{4/3})’ = \frac{4}{3}x^{1/3}$

Подставим:

$$g'(x) = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}x^{1/3} — 2 = x^{1/3} — 2$$

Шаг 2: Решим уравнение

$$x^{1/3} — 2 = 0 \Rightarrow x^{1/3} = 2 \Rightarrow x = 2^3 = 8$$

Шаг 3: Проверка

• Кубический корень и возведение в степень 4/3 — определены при всех $x \in \mathbb{R}$

Ответ: $\boxed{8}$

г) $g(x) = \frac{3}{4}x^{4/3} — \frac{6}{7}x^{7/6} — 2x$

Шаг 1: Найдём производную

• $(x^{4/3})’ = \frac{4}{3}x^{1/3}$
• $(x^{7/6})’ = \frac{7}{6}x^{1/6}$

Всё подставляем:

$$g'(x) = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}x^{1/3} — \frac{6}{7} \cdot \frac{7}{6}x^{1/6} — 2 = x^{1/3} — x^{1/6} — 2$$

То есть:

$$g'(x) = \sqrt[3]{x} — \sqrt[6]{x} — 2$$

Шаг 2: Решим уравнение

Пусть $t = \sqrt[6]{x}$, тогда:

• $\sqrt[3]{x} = (x^{1/6})^2 = t^2$

Подставим:

$$t^2 — t — 2 = 0$$

Шаг 3: Найдём корни уравнения

$$D = (-1)^2 + 8 = 9 \Rightarrow t_{1,2} = \frac{1 \pm 3}{2} \Rightarrow t_1 = -1, \quad t_2 = 2$$

Шаг 4: Найдём $x$

• $x = t^6$
• $t = -1 \Rightarrow x = (-1)^6 = 1$ — но $\sqrt[6]{x} = -1$ — не определено, так как шестой корень должен быть неотрицательным
• Оставляем только $t = 2 \Rightarrow x = 2^6 = 64$

Шаг 5: Проверка

• $x = 64$ — подходит, все выражения определены

Ответ: $\boxed{{\displaystyle 64}}$