ГДЗ 10-11 Класс Номер 38.36 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить неравенство $f'(x) > 0$, если:

а) $f(x) = x^2 — \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}$;

Производная функции:

$$f'(x) = (x^2)’ — \frac{2}{3}\left(x^{\frac{3}{2}}\right)’ = 2x — \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = 2x — \sqrt{x};$$

Решение неравенства:

$$2x — \sqrt{x} > 0; \\ \sqrt{x}(2\sqrt{x} — 1) > 0; \\ 2\sqrt{x} — 1 > 0; \\ \sqrt{x} > \frac{1}{2}; \\ x > \frac{1}{4};$$

Выражение имеет смысл при:

$$x \geq 0;$$

Ответ: $x \in (0{,}25; +\infty)$.

б) $f(x) = -\frac{8}{x} — \frac{x^2}{2}$;

Производная функции:

$$f'(x) = -8\left(\frac{1}{x}\right)’ — \frac{1}{2}(x^2)’ = -8 \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) — \frac{1}{2} \cdot 2x = \frac{8}{x^2} — x;$$

Решение неравенства:

$$\frac{8}{x^2} — x > 0; \\ \Rightarrow 8 — x^3 > 0 \text{ (умножили обе части на } x^2 > 0); \\ x^3 < 8; \\ x < 2;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x \ne 0;$$

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 2)$.

в) $f(x) = \frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}} + \frac{3}{2}x^{\frac{4}{3}}$;

Производная функции:

$$f'(x) = \frac{3}{5}(x^{\frac{5}{3}})’ + \frac{3}{2}(x^{\frac{4}{3}})’ = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3}x^{\frac{2}{3}} + \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3}x^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x^2} + 2\sqrt[3]{x};$$

Решение неравенства:

$$\sqrt[3]{x^2} + 2\sqrt[3]{x} > 0; \\ \sqrt[3]{x}(\sqrt[3]{x} + 2) > 0;$$

Исследуем знак произведения:

• $\sqrt[3]{x} > 0 \Rightarrow x > 0$
• $\sqrt[3]{x} < -2 \Rightarrow x < -8$

Ответ: $x \in (-\infty; -8) \cup (0; +\infty)$

г) $f(x) = 0{,}4x^{\frac{5}{4}} — \frac{8}{3}x^{\frac{3}{4}}$;

Производная функции:

$$f'(x) = 0{,}4(x^{\frac{5}{4}})’ — \frac{8}{3}(x^{\frac{3}{4}})’ = 0{,}4 \cdot \frac{5}{4}x^{\frac{1}{4}} — \frac{8}{3} \cdot \frac{3}{4}x^{-\frac{1}{4}} = \frac{\sqrt[4]{x}}{2} — \frac{2}{\sqrt[4]{x}};$$

Решение неравенства:

$$\frac{\sqrt[4]{x}}{2} — \frac{2}{\sqrt[4]{x}} > 0;$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{\sqrt[4]{x^2} — 4}{2\sqrt[4]{x}} > 0;$$

Т.е.:

$$\frac{\sqrt{x} — 4}{2\sqrt[4]{x}} > 0;$$

Исследуем знак дроби:

• $\sqrt{x} — 4 > 0 \Rightarrow x > 16$
• $\sqrt[4]{x} > 0 \Rightarrow x > 0$

Обе части положительны при $x > 16$

Ответ: $x \in (16; +\infty)$

а) $f(x) = x^2 — \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}$

Шаг 1: Найдём производную

Применим правило:

$$(x^n)’ = n \cdot x^{n-1}$$

Рассчитаем каждую производную:

• $(x^2)’ = 2x$
• $\left(x^{3/2}\right)’ = \frac{3}{2}x^{1/2}$

Подставим в выражение:

$$f'(x) = 2x — \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{1/2} = 2x — x^{1/2} = 2x — \sqrt{x}$$

Шаг 2: Решим неравенство $f'(x) > 0$

$$2x — \sqrt{x} > 0$$

Вынесем $\sqrt{x}$ за скобки:

$$\sqrt{x}(2\sqrt{x} — 1) > 0$$

Это произведение двух множителей. Решим методом интервалов:

• $\sqrt{x} > 0 \Rightarrow x > 0$
• $2\sqrt{x} — 1 > 0 \Rightarrow \sqrt{x} > \frac{1}{2} \Rightarrow x > \frac{1}{4}$

Значит, обе скобки положительны одновременно при $x > \frac{1}{4}$

Шаг 3: Область определения

• $x^{3/2}$ и $\sqrt{x}$ определены при $x \geq 0$

Шаг 4: Окончательный ответ

$$\boxed{x \in \left( \frac{1}{4}; +\infty \right)}$$

б) $f(x) = -\frac{8}{x} — \frac{x^2}{2}$

Шаг 1: Найдём производную

• $\left(-\frac{8}{x}\right)’ = 8 \cdot \frac{1}{x^2}$
• $\left(-\frac{1}{2}x^2\right)’ = -x$

$$f'(x) = \frac{8}{x^2} — x$$

Шаг 2: Решим неравенство $f'(x) > 0$

$$\frac{8}{x^2} — x > 0 \Rightarrow \frac{8 — x^3}{x^2} > 0$$

Решим неравенство:

• Числитель: $8 — x^3 > 0 \Rightarrow x^3 < 8 \Rightarrow x < 2$
• Знаменатель: $x^2 > 0 \Rightarrow x \ne 0$

Шаг 3: Итог

• При $x < 2$ и $x \ne 0$ выражение положительно

Ответ:

$$\boxed{x \in (-\infty; 0) \cup (0; 2)}$$

в) $f(x) = \frac{3}{5}x^{5/3} + \frac{3}{2}x^{4/3}$

Шаг 1: Найдём производную

Используем:

$$(x^n)’ = n \cdot x^{n — 1}$$

• $\left(x^{5/3}\right)’ = \frac{5}{3}x^{2/3}$
• $\left(x^{4/3}\right)’ = \frac{4}{3}x^{1/3}$

Подставим:

$$f'(x) = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3}x^{2/3} + \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3}x^{1/3} = x^{2/3} + 2x^{1/3}$$

Приведём к общему виду:

$$f'(x) = \sqrt[3]{x^2} + 2\sqrt[3]{x}$$

Шаг 2: Решим неравенство $f'(x) > 0$

$$\sqrt[3]{x^2} + 2\sqrt[3]{x} > 0$$

Вынесем $\sqrt[3]{x}$:

$$\sqrt[3]{x}(\sqrt[3]{x} + 2) > 0$$

Решим методом интервалов:

• $\sqrt[3]{x} > 0 \Rightarrow x > 0$
• $\sqrt[3]{x} < -2 \Rightarrow x < -8$

Шаг 3: Ответ

$$\boxed{x \in (-\infty; -8) \cup (0; +\infty)}$$

г) $f(x) = 0{,}4x^{5/4} — \frac{8}{3}x^{3/4}$

Шаг 1: Найдём производную

• $\left(x^{5/4}\right)’ = \frac{5}{4}x^{1/4}$
• $\left(x^{3/4}\right)’ = \frac{3}{4}x^{-1/4}$

Подставим:

$$f'(x) = 0{,}4 \cdot \frac{5}{4}x^{1/4} — \frac{8}{3} \cdot \frac{3}{4}x^{-1/4} = \frac{\sqrt[4]{x}}{2} — \frac{2}{\sqrt[4]{x}}$$

Шаг 2: Решим неравенство

$$\frac{\sqrt[4]{x}}{2} — \frac{2}{\sqrt[4]{x}} > 0$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{x^{1/2} — 4}{2\sqrt[4]{x}} > 0 \Rightarrow \frac{\sqrt{x} — 4}{2\sqrt[4]{x}} > 0$$

Шаг 3: Знаменатель положителен при $x > 0$

Числитель $\sqrt{x} — 4 > 0 \Rightarrow x > 16$

Шаг 4: Ответ

$$\boxed{{\displaystyle x\in (16;+\mathrm{\infty })}}$$