ГДЗ 10-11 Класс Номер 38.37 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Провести касательную к графику функции $y = f(x)$, параллельную заданной прямой $y = kx + m$:

а) $f(x) = 4\sqrt[4]{x}$, $y = x — 2$

Производная функции:

$$f'(x) = 4 \cdot \left( x^{\frac{1}{4}} \right)’ = 4 \cdot \frac{1}{4} x^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{\sqrt[4]{x^3}};$$

Абсцисса точки касания:
Прямая $y = x — 2$ имеет угловой коэффициент $k = 1$.
Приравниваем производную к 1:

$$\frac{1}{\sqrt[4]{x^3}} = 1 \Rightarrow \sqrt[4]{x^3} = 1 \Rightarrow x = 1;$$

Значение функции в точке:

$$f(1) = 4\sqrt[4]{1} = 4;$$

Уравнение касательной:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a) \Rightarrow y = 4 + 1 \cdot (x — 1) = x + 3;$$

Ответ: $\boxed{y = x + 3}$

б) $f(x) = \frac{1}{x^3}$, $y = 5 — 3x$

Производная функции:

$$f'(x) = \left( x^{-3} \right)’ = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4};$$

Абсциссы точек касания:
Прямая $y = 5 — 3x$ имеет угловой коэффициент $k = -3$.
Приравниваем производную к -3:

$$-\frac{3}{x^4} = -3 \Rightarrow \frac{3}{x^4} = 3 \Rightarrow x^4 = 1 \Rightarrow x = \pm 1;$$

Значения функции:

$$f(-1) = \frac{1}{(-1)^3} = -1, \quad f(1) = \frac{1}{1^3} = 1;$$

Уравнения касательных:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a)$$

Для $x = -1$:

$$y = -1 — 3(x — (-1)) = -1 — 3(x + 1) = -1 — 3x — 3 = -4 — 3x;$$

Для $x = 1$:

$$y = 1 — 3(x — 1) = 1 — 3x + 3 = 4 — 3x;$$

Ответ:

$$\boxed{y = -4 — 3x},\quad \boxed{y = 4 — 3x}$$

Провести касательную к графику функции $y = f(x)$, параллельную заданной прямой $y = kx + m$

а) $f(x) = 4\sqrt[4]{x}$, прямая $y = x — 2$

Шаг 1. Определим угловой коэффициент заданной прямой

Уравнение прямой:

$$y = x — 2$$

Это линейная функция с угловым коэффициентом $k = 1$, так как она записана в виде $y = kx + m$.

Шаг 2. Найдём производную функции $f(x) = 4\sqrt[4]{x}$

Запишем корень как степень:

$$f(x) = 4x^{1/4}$$

Вычислим производную:

$$f'(x) = 4 \cdot \frac{1}{4}x^{-3/4} = x^{-3/4} = \frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}$$

Шаг 3. Найдём точку касания: $f'(x) = 1$

Приравниваем производную к угловому коэффициенту:

$$\frac{1}{\sqrt[4]{x^3}} = 1 \Rightarrow \sqrt[4]{x^3} = 1 \Rightarrow x^3 = 1^4 = 1 \Rightarrow x = 1$$

Шаг 4. Найдём значение функции в точке $x = 1$

$$f(1) = 4\sqrt[4]{1} = 4$$

Шаг 5. Запишем уравнение касательной

Формула касательной в точке $x = a$:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a)$$

Подставим:

$$y = 4 + 1(x — 1) = x + 3$$

Ответ:

$$y = x + 3$$

б) $f(x) = \dfrac{1}{x^3}$, прямая $y = 5 — 3x$

Шаг 1. Определим угловой коэффициент заданной прямой

Преобразуем уравнение прямой:

$$y = 5 — 3x \Rightarrow y = -3x + 5$$

Значит, $k = -3$

Шаг 2. Найдём производную функции $f(x) = \dfrac{1}{x^3}$

$$f(x) = x^{-3} \Rightarrow f'(x) = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4}$$

Шаг 3. Приравняем производную к угловому коэффициенту

$$-\frac{3}{x^4} = -3 \Rightarrow \frac{3}{x^4} = 3 \Rightarrow x^4 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$$

Шаг 4. Найдём значения функции в этих точках

$$f(1) = \frac{1}{1^3} = 1, \quad f(-1) = \frac{1}{(-1)^3} = -1$$

Шаг 5. Запишем уравнения касательных

Общая формула:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a)$$

Для $x = 1$:

$$f(1)=1,f^{\mathrm{\prime }}(1)=-3\Rightarrow y=1-3(x-1)=1-3x+3=$$

$$f(1) = 1, \quad f'(1) = -3 \Rightarrow y = 1 — 3(x — 1) = 1 — 3x + 3 = -3x + 4 = 4 — 3x$$

Для $x = -1$:

$$f(-1)=-1,f^{\mathrm{\prime }}(-1)=-3\Rightarrow y=-1-3(x+1)=-1-3x-3=$$

$$f(-1) = -1, \quad f'(-1) = -3 \Rightarrow y = -1 — 3(x + 1) = -1 — 3x — 3 = -3x — 4 = -4 — 3x$$

Ответ:

$$y = 4 — 3x,\quad y = -4 — 3x$$