ГДЗ 10-11 Класс Номер 38.39 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Используя свойство монотонности функции, решить уравнение:

а) $2x^5 + x^3 + 5x — 80 = \sqrt[3]{14 — 3x}$;

Производная первой функции:
$f(x) = 2x^5 + x^3 + 5x — 80$;
$f'(x) = 2(x^5)’ + (x^3)’ + (5x — 80)’$;
$f'(x) = 2 \cdot 5x^4 + 3x^2 + 5 = 10x^4 + 3x^2 + 5 > 0$;

Производная второй функции:
$g(x) = \sqrt[3]{14 — 3x}$;
$g'(x) = \left((14 — 3x)^{\frac{1}{3}}\right)’ = -3 \cdot \frac{1}{3}(14 — 3x)^{-\frac{2}{3}} = \frac{-1}{\sqrt[3]{(14 — 3x)^2}} < 0$;

Методом перебора найдем решение:
$f(2) = 2 \cdot 2^5 + 2^3 + 5 \cdot 2 — 80 = 64 + 8 + 10 — 80 = 2$;
$g(2) = \sqrt[3]{14 — 3 \cdot 2} = \sqrt[3]{14 — 6} = \sqrt[3]{8} = 2$;

Ответ: 2.

б) $\sqrt[4]{10 + 3x} = 74 — x^5 — 3x^3 — 8x$;

Производная первой функции:
$f(x) = \sqrt[4]{10 + 3x}$;
$f'(x) = \left((10 + 3x)^{\frac{1}{4}}\right)’ = 3 \cdot \frac{1}{4}(10 + 3x)^{-\frac{3}{4}} = \frac{3}{4\sqrt[4]{(10 + 3x)^3}} > 0$;

Производная второй функции:
$g(x) = 74 — x^5 — 3x^3 — 8x$;
$g'(x) = (74 — 8x)’ — (x^5)’ — 3(x^3)’$;
$g'(x) = -8 — 5x^4 — 3 \cdot 3x^2 = -8 — 5x^4 — 9x^2 < 0$;

Методом перебора найдем решение:
$f(2) = \sqrt[4]{10 + 3 \cdot 2} = \sqrt[4]{10 + 6} = \sqrt[4]{16} = 2$;
$g(2) = 74 — 2^5 — 3 \cdot 2^3 — 8 \cdot 2 = 74 — 32 — 24 — 16 = 2$;

Ответ: 2.

Решить уравнение, используя свойство монотонности функций.

а)

$$2x^5 + x^3 + 5x — 80 = \sqrt[3]{14 — 3x}$$

Шаг 1. Обозначим левую и правую части как функции:

• Левая часть: $f(x) = 2x^5 + x^3 + 5x — 80$
• Правая часть: $g(x) = \sqrt[3]{14 — 3x} = (14 — 3x)^{1/3}$

Мы хотим найти такие $x$, при которых $f(x) = g(x)$.

Шаг 2. Исследуем функцию $f(x)$ на монотонность

$$f(x) = 2x^5 + x^3 + 5x — 80$$

Найдём производную:

$$f'(x) = \frac{d}{dx} (2x^5) + \frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(5x — 80)$$ $$f'(x) = 2 \cdot 5x^4 + 3x^2 + 5 = 10x^4 + 3x^2 + 5$$

Анализ знака производной:

• $x^4 \geq 0$, $x^2 \geq 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$
• Следовательно, $f'(x) = 10x^4 + 3x^2 + 5 > 0$ при любом $x \in \mathbb{R}$

Вывод:

Функция $f(x)$ строго возрастает на всей числовой прямой.

Шаг 3. Исследуем функцию $g(x)$ на монотонность

$$g(x) = \sqrt[3]{14 — 3x} = (14 — 3x)^{1/3}$$

Найдём производную:

Применяем производную степени:

$$g'(x) = \frac{d}{dx}[(14 — 3x)^{1/3}] = \frac{1}{3}(14 — 3x)^{-2/3} \cdot (-3)$$ $$g'(x) = -\frac{1}{(14 — 3x)^{2/3}} = \frac{-1}{\sqrt[3]{(14 — 3x)^2}}$$

Анализ знака производной:

• Кубический корень из квадрата выражения всегда положителен (в знаменателе).
• Минус в числителе.

Значит:

$$g'(x) < 0 \quad \text{при всех } x, \text{ для которых } 14 — 3x \neq 0$$

Вывод:

Функция $g(x)$ строго убывает на всей области определения.

Шаг 4. Монотонность левой и правой части

• $f(x)$: строго возрастает
• $g(x)$: строго убывает

Тогда их графики могут пересечься не более одного раза (единственное решение), так как возрастающая и убывающая функции могут равняться только в одной точке, если равны.

Шаг 5. Подбор значения методом перебора

Проверим $x = 2$:

Вычислим $f(2)$:

$$f(2) = 2 \cdot 2^5 + 2^3 + 5 \cdot 2 — 80$$ $$2^5 = 32,\quad 2^3 = 8$$ $$f(2) = 2 \cdot 32 + 8 + 10 — 80 = 64 + 8 + 10 — 80 = 82 — 80 = 2$$

Вычислим $g(2)$:

$$g(2) = \sqrt[3]{14 — 3 \cdot 2} = \sqrt[3]{14 — 6} = \sqrt[3]{8} = 2$$

Шаг 6. Вывод

Так как:

• $f(2) = g(2) = 2$
• $f(x)$ — строго возрастающая
• $g(x)$ — строго убывающая
• Значит, уравнение имеет единственное решение, и оно найдено.

Ответ: $\boxed{2}$

б)

$$\sqrt[4]{10 + 3x} = 74 — x^5 — 3x^3 — 8x$$

Шаг 1. Обозначим левую и правую части как функции:

• Левая часть: $f(x) = \sqrt[4]{10 + 3x} = (10 + 3x)^{1/4}$
• Правая часть: $g(x) = 74 — x^5 — 3x^3 — 8x$

Шаг 2. Исследуем функцию $f(x)$ на монотонность

$$f(x) = (10 + 3x)^{1/4}$$

Найдём производную:

$$f'(x) = \frac{1}{4}(10 + 3x)^{-3/4} \cdot 3 = \frac{3}{4(10 + 3x)^{3/4}} = \frac{3}{4\sqrt[4]{(10 + 3x)^3}}$$

Анализ знака производной:

• Знаменатель положителен при $10 + 3x > 0$
• Область определения: $x > -\frac{10}{3}$
• Числитель $3 > 0$

$$f'(x) > 0 \quad \text{при } x > -\frac{10}{3}$$

Вывод:

Функция $f(x)$ строго возрастает при $x > -\frac{10}{3}$

Шаг 3. Исследуем функцию $g(x)$ на монотонность

$$g(x) = 74 — x^5 — 3x^3 — 8x$$

Найдём производную:

$$g'(x) = \frac{d}{dx}(74 — x^5 — 3x^3 — 8x)$$ $$g'(x) = 0 — 5x^4 — 9x^2 — 8 = -5x^4 — 9x^2 — 8$$

Анализ знака производной:

• $x^4 \geq 0$, $x^2 \geq 0$, а все коэффициенты отрицательные.
• Значит:

$$g'(x) < 0 \quad \text{при любом } x \in \mathbb{R}$$

Вывод:

Функция $g(x)$ строго убывает на всей числовой прямой.

Шаг 4. Используем монотонность

• $f(x)$ — строго возрастает
• $g(x)$ — строго убывает
  → Уравнение имеет не более одного корня

Шаг 5. Проверим $x = 2$

Вычислим $f(2)$:

$$f(2) = \sqrt[4]{10 + 3 \cdot 2} = \sqrt[4]{16} = 2$$

Вычислим $g(2)$:

$$g(2) = 74 — 2^5 — 3 \cdot 2^3 — 8 \cdot 2$$ $$2^5 = 32,\quad 2^3 = 8$$ $$g(2) = 74 — 32 — 24 — 16 = 74 — 72 = 2$$

Шаг 6. Вывод

• $f(2) = g(2) = 2$
• Уравнение имеет единственное решение

Ответ: $\boxed{{\displaystyle 2}}$