ГДЗ 10-11 Класс Номер 38.5 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Известно, что $f(x) = x^{-\frac{2}{3}}$. Вычислить:

а) $f(1)$

б) $f(8)$

в) $f\left(\frac{1}{8}\right)$

г) $f(0)$

Известно, что $f(x) = x^{-\frac{2}{3}}$, вычислить:

а) $f(1) = 1^{-\frac{2}{3}} = 1$;
Ответ: 1.

б) $f(8) = 8^{-\frac{2}{3}} = (2^3)^{-\frac{2}{3}} = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0{,}25$;
Ответ: 0,25.

в) $f\left(\frac{1}{8}\right) = \left(\frac{1}{8}\right)^{-\frac{2}{3}} = (2^{-3})^{-\frac{2}{3}} = 2^2 = 4$;
Ответ: 4.

г) $f(0) = 0^{-\frac{2}{3}}$ — не существует;
Ответ: нет.

Дана функция:

$$f(x) = x^{-\frac{2}{3}}$$

Найти значения функции при различных $x$.

а) $f(1)$

Подставляем $x = 1$:

$$f(1) = 1^{-\frac{2}{3}}$$

Сначала вспомним, что любое число в отрицательной степени — это обратное положительной степени:

$$a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad \text{и} \quad a^0 = 1$$

Также:

$$1^{\text{любая степень}} = 1$$

Следовательно:

$$f(1) = 1^{-\frac{2}{3}} = 1$$

Ответ:

$$f(1) = 1$$

б) $f(8)$

Подставляем $x = 8$:

$$f(8) = 8^{-\frac{2}{3}}$$

Разложим 8 как $2^3$:

$$8 = 2^3 \Rightarrow 8^{-\frac{2}{3}} = (2^3)^{-\frac{2}{3}}$$

Используем правило степени:

$$(a^m)^n = a^{m \cdot n} \quad \Rightarrow \quad (2^3)^{-\frac{2}{3}} = 2^{3 \cdot (-\frac{2}{3})} = 2^{-2}$$

Вычислим:

$$2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$$

В десятичной форме:

$$\frac{1}{4} = 0{,}25$$

Ответ:

$$f(8) = 0{,}25$$

в) $f\left( \frac{1}{8} \right)$

Подставляем $x = \frac{1}{8}$:

$$f\left( \frac{1}{8} \right) = \left( \frac{1}{8} \right)^{-\frac{2}{3}}$$

Представим $\frac{1}{8}$ как степень двойки:

$$\frac{1}{8} = 2^{-3} \quad \Rightarrow \quad \left( 2^{-3} \right)^{-\frac{2}{3}}$$

Применим правило степени:

$$(2^{-3})^{-\frac{2}{3}} = 2^{-3 \cdot (-\frac{2}{3})} = 2^2$$

Вычислим:

$$2^2 = 4$$

Ответ:

$$f\left( \frac{1}{8} \right) = 4$$

г) $f(0)$

Подставляем $x = 0$:

$$f(0) = 0^{-\frac{2}{3}}$$

Разберёмся, что означает отрицательная степень:

• $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$
• Значит:

  $$f(0) = \frac{1}{0^{\frac{2}{3}}}$$

Но:

• $0^{\text{любая положительная степень}} = 0$
• Деление на 0 неопределено

Следовательно:

$$f(0) = \frac{1}{0} \quad \text{не существует}$$

Ответ:

$$f(0)=\text{нет}\text{(значение не существует)}$$