ГДЗ 10-11 Класс Номер 39.17 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Исследуйте функцию на монотонность:

а) $y = (\sqrt{3})^x$;

б) $y = 0,3^x$;

в) $y = 21^x$;

г) $y = \left( \frac{4}{\sqrt{19}} \right)^x$

Исследовать функцию на монотонность:

а) $y = (\sqrt{3})^x$;
Основание степени больше единицы:
$3 > 1$;
$\sqrt{3} > 1$;
Ответ: возрастает на $(-\infty; +\infty)$.

б) $y = 0,3^x$;
Основание степени меньше единицы:
$0,3 < 1$;
Ответ: убывает на $(-\infty; +\infty)$.

в) $y = 21^x$;
Основание степени больше единицы:
$21 > 1$;
Ответ: возрастает на $(-\infty; +\infty)$.

г) $y = \left( \frac{4}{\sqrt{19}} \right)^x$;
Основание степени меньше единицы:
$16 < 19$;
$4 < \sqrt{19}$;
$\frac{4}{\sqrt{19}} < 1$;
Ответ: убывает на $(-\infty; +\infty)$.

Общий алгоритм исследования на монотонность для экспоненты

Записываем функцию в виде $y=a^x$, где $a>0, a\neq1$.

Определяем знак числа $a-1$: если $a>1$, то $\ln a > 0$; если $0<a<1$, то $\ln a < 0$.

Находим производную:

$$y'(x)=a^x\ln a.$$

Поскольку $a^x>0$ при всех $x$, знак производной совпадает со знаком $\ln a$.

Делаем вывод:

• при $a>1$ функция возрастает на всей числовой прямой;
• при $0<a<1$ функция убывает на всей числовой прямой.

а) $y=(\sqrt{3})^x$

• Основание $a=\sqrt{3}$.
• Проверка: $\sqrt{3}>1$, значит $\ln(\sqrt{3})>0$.
• Производная $y’=(\sqrt{3})^x\ln(\sqrt{3})>0$ для любых $x$.
• Следовательно, функция строго возрастает на промежутке $(-\infty;+\infty)$.

б) $y=0{,}3^x$

• Основание $a=0{,}3$.
• Проверка: $0<a<1$, значит $\ln(0{,}3)<0$.
• Производная $y’=0{,}3^x\ln(0{,}3)<0$ при любых $x$.
• Следовательно, функция строго убывает на промежутке $(-\infty;+\infty)$.

в) $y=21^x$

• Основание $a=21$.
• Проверка: $21>1$, значит $\ln(21)>0$.
• Производная $y’=21^x\ln(21)>0$ при любых $x$.
• Следовательно, функция строго возрастает на промежутке $(-\infty;+\infty)$.

г) $y=\left(\dfrac{4}{\sqrt{19}}\right)^x$

• Основание $a=\dfrac{4}{\sqrt{19}}$.
• Проверка: так как $4^2=16<19=(\sqrt{19})^2$, имеем $4<\sqrt{19}$.
• Тогда $\dfrac{4}{\sqrt{19}}<1$, но число положительное. Значит $0<a<1$.
• Следовательно, $\ln\!\left(\dfrac{4}{\sqrt{19}}\right)<0$.
• Производная $y’=\left(\dfrac{4}{\sqrt{19}}\right)^x\ln\!\left(\dfrac{4}{\sqrt{19}}\right)<0$ при любых $x$.
• Следовательно, функция строго убывает на промежутке $(-\infty;+\infty)$.

Окончательный ответ:
а) возрастает на $(-\infty;+\infty)$
б) убывает на $(-\infty;+\infty)$
в) возрастает на $(-\infty;+\infty)$
г) убывает на $(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$