ГДЗ 10-11 Класс Номер 39.18 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Исследовать функцию на монотонность:

а) $y = 2^{-x} = \left(\tfrac{1}{2}\right)^x$;

Основание степени меньше единицы:
$1 < 2$;
$\tfrac{1}{2} < 1$;

Ответ: убывает на $(-\infty; +\infty)$.

б) $y = \left(\tfrac{2}{9}\right)^{-x} = \left(\tfrac{9}{2}\right)^x$;

Основание степени больше единицы:
$9 > 2$;
$\tfrac{9}{2} > 1$;

Ответ: возрастает на $(-\infty; +\infty)$.

в) $y = 17^{-x} = \left(\tfrac{1}{17}\right)^x$;

Основание степени меньше единицы:
$1 < 17$;
$\tfrac{1}{17} < 1$;

Ответ: убывает на $(-\infty; +\infty)$.

г) $y = \left(\tfrac{1}{13}\right)^{-x} = 13^x$;

Основание степени больше единицы:
$13 > 1$;

Ответ: возрастает на $(-\infty; +\infty)$.

Общий факт. Для экспоненты $y=a^x$ при $a>0,\;a\neq1$:

1. Область определения: $x\in\mathbb{R}$. Значения всегда положительны: $a^x>0$.
2. Производная: $\dfrac{d}{dx}a^x=a^x\ln a$. Так как $a^x>0$, знак производной совпадает со знаком $\ln a$:
   • если $a>1\Rightarrow \ln a>0\Rightarrow y$ строго возрастает на $(-\infty;+\infty)$;
   • если $0<a<1\Rightarrow \ln a<0\Rightarrow y$ строго убывает на $(-\infty;+\infty)$.
3. Для форм $y=a^{-x}$ удобно либо переписывать $a^{-x}=\bigl(\tfrac1a\bigr)^x$, либо рассматривать композицию $f(x)=a^{\,{-x}}=g(h(x))$ с $g(u)=a^u$ и $h(x)=-x$ (строго убывающая линейная). Тогда:
   • при $a>1$: $g$ возрастает, $h$ убывает ⇒ композиция убывает;
   • при $0<a<1$: $g$ убывает, $h$ убывает ⇒ композиция возрастает.

а) $y=2^{-x}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^x$
Подход 1 (через переписывание основания). $\tfrac{1}{2}\in(0,1)\Rightarrow \ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)<0$. Тогда

$$y’=\left(\tfrac{1}{2}\right)^x\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)<0\quad\forall x,$$

то есть функция строго убывает на $(-\infty;+\infty)$.
Подход 2 (через композицию). При $a=2>1$ функция $g(u)=2^u$ возрастает, а $h(x)=-x$ убывает ⇒ $2^{-x}$ убывает.
Пределы (проверка монотонности): $x\to+\infty\Rightarrow 2^{-x}\to0^+$; $x\to-\infty\Rightarrow 2^{-x}\to+\infty$.
Ответ: убывает на $(-\infty;+\infty)$.

б) $y=\left(\tfrac{2}{9}\right)^{-x}=\left(\tfrac{9}{2}\right)^x$
Эквивалентная форма даёт основание $\tfrac{9}{2}>1\Rightarrow \ln\!\left(\tfrac{9}{2}\right)>0$. Тогда

$$y’=\left(\tfrac{9}{2}\right)^x\ln\!\left(\tfrac{9}{2}\right)>0\quad\forall x,$$

следовательно, функция строго возрастает на $(-\infty;+\infty)$.
Альтернативно: исходное основание $\tfrac{2}{9}\in(0,1)$ давало бы убывающую $a^x$, но показатель $-x$ тоже убывающий, а композиция двух убывающих — возрастающая.
Пределы (проверка): $x\to+\infty\Rightarrow \left(\tfrac{9}{2}\right)^x\to+\infty$; $x\to-\infty\Rightarrow \left(\tfrac{9}{2}\right)^x\to0^+$.
Ответ: возрастает на $(-\infty;+\infty)$.

в) $y=17^{-x}=\left(\tfrac{1}{17}\right)^x$
Основание $\tfrac{1}{17}\in(0,1)\Rightarrow \ln\!\left(\tfrac{1}{17}\right)<0$. Тогда

$$y’=\left(\tfrac{1}{17}\right)^x\ln\!\left(\tfrac{1}{17}\right)<0\quad\forall x,$$

то есть функция строго убывает на $(-\infty;+\infty)$.
Композиционный взгляд: $a=17>1\Rightarrow 17^u$ возрастает, но $u=-x$ убывает ⇒ $17^{-x}$ убывает.
Пределы (проверка): $x\to+\infty\Rightarrow 17^{-x}\to0^+$; $x\to-\infty\Rightarrow 17^{-x}\to+\infty$.
Ответ: убывает на $(-\infty;+\infty)$.

г) $y=\left(\tfrac{1}{13}\right)^{-x}=13^x$
Эквивалентная форма: основание $13>1\Rightarrow \ln 13>0$. Тогда

$$y’=13^x\ln 13>0\quad\forall x,$$

следовательно, функция строго возрастает на $(-\infty;+\infty)$.
Композиционно: исходное основание $\tfrac{1}{13}\in(0,1)\Rightarrow \left(\tfrac{1}{13}\right)^u$ убывает, а $u=-x$ убывает ⇒ композиция возрастает.
Пределы (проверка): $x\to+\infty\Rightarrow 13^x\to+\infty$; $x\to-\infty\Rightarrow 13^x\to0^+$.
Ответ: возрастает на $(-\infty;+\infty)$.