ГДЗ 10-11 Класс Номер 39.19 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном промежутке:

а) $y = 2^x, \ [1; 4];$

Функция возрастает:
$2 > 1;$

Значения функции:
$y(1) = 2^1 = 2;$
$y(4) = 2^4 = 16;$

Ответ: $y_{\text{наим}} = 2; \ y_{\text{наиб}} = 16.$

б) $y = \left(\tfrac{1}{3}\right)^x, \ [-4; -2];$

Функция убывает:
$\tfrac{1}{3} < 1;$

Значения функции:
$y(-4) = \left(\tfrac{1}{3}\right)^{-4} = 3^4 = 81;$
$y(-2) = \left(\tfrac{1}{3}\right)^{-2} = 3^2 = 9;$

Ответ: $y_{\text{наим}} = 9; \ y_{\text{наиб}} = 81.$

в) $y = \left(\tfrac{1}{3}\right)^x, \ [0; 4];$

Функция убывает:
$\tfrac{1}{3} < 1;$

Значения функции:
$y(0) = \left(\tfrac{1}{3}\right)^0 = 1;$
$y(4) = \left(\tfrac{1}{3}\right)^4 = \tfrac{1}{81};$

Ответ: $y_{\text{наим}} = \tfrac{1}{81}; \ y_{\text{наиб}} = 1.$

г) $y = 2^x, \ [-4; 2];$

Функция возрастает:
$2 > 1;$

Значения функции:
$y(-4) = 2^{-4} = \left(\tfrac{1}{2}\right)^4 = \tfrac{1}{16};$
$y(2) = 2^2 = 4;$

Ответ: $y_{\text{наим}} = \tfrac{1}{16}; \ y_{\text{наиб}} = 4.$

Общий принцип. Если функция монотонно возрастает на всём промежутке, то на отрезке $[a;b]$ минимум достигается в точке $x=a$, максимум — в точке $x=b$. Если функция монотонно убывает, то минимум — в правом конце $x=b$, максимум — в левом $x=a$. Экспонента $y=a^x$ при $a>1$ строго возрастает, при $0<a<1$ строго убывает. Это следует, например, из производной $y’=a^x\ln a$: знак $\ln a$ определяет монотонность.

а) $y=2^x,\; [1;4]$

1. Основание $2>1$ ⇒ функция $2^x$ возрастает на $(-\infty;+ \infty)$.
2. На возрастающей функции на отрезке $[1;4]$:
   — минимум при левом конце $x=1$: $y(1)=2^1=2$;
   — максимум при правом конце $x=4$: $y(4)=2^4=16$.
   Ответ: $y_{\text{наим}}=2;\; y_{\text{наиб}}=16.$

б) $y=\left(\dfrac{1}{3}\right)^x,\; [-4;-2]$

1. Основание $\dfrac{1}{3}\in(0;1)$ ⇒ функция $\left(\dfrac{1}{3}\right)^x$ убывает на $(-\infty;+ \infty)$.
2. На убывающей функции на отрезке $[-4;-2]$:
   — максимум при левом конце $x=-4$: $y(-4)=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-4}=3^4=81$;
   — минимум при правом конце $x=-2$: $y(-2)=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2}=3^2=9$.
   Ответ: $y_{\text{наим}}=9;\; y_{\text{наиб}}=81.$

в) $y=\left(\dfrac{1}{3}\right)^x,\; [0;4]$

1. Основание $\dfrac{1}{3}\in(0;1)$ ⇒ функция убывает.
2. На убывающей функции на отрезке $[0;4]$:
   — максимум при левом конце $x=0$: $y(0)=\left(\dfrac{1}{3}\right)^0=1$;
   — минимум при правом конце $x=4$: $y(4)=\left(\dfrac{1}{3}\right)^4=\dfrac{1}{81}$.
   Ответ: $y_{\text{наим}}=\dfrac{1}{81};\; y_{\text{наиб}}=1.$

г) $y=2^x,\; [-4;2]$

1. Основание $2>1$ ⇒ функция возрастает.
2. На возрастающей функции на отрезке $[-4;2]$:
   — минимум при левом конце $x=-4$: $y(-4)=2^{-4}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^4=\dfrac{1}{16}$;
   — максимум при правом конце $x=2$: $y(2)=2^2=4$.
   Ответ: $y_{\text{наим}}=\dfrac{1}{16};\; y_{\text{наиб}}=4.$