ГДЗ 10-11 Класс Номер 39.2 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $x = \frac{3}{2}$;

б) $x = -\frac{1}{2}$;

в) $x = \frac{4}{3}$;

г) $x = -\frac{2}{3}$

Найти значение выражения $2^x$ при указанных значениях переменной $x$:

а) $x = \frac{3}{2}$;
$2^x = 2^{\frac{3}{2}} = \sqrt{2^3} = \sqrt{2^2 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$;
Ответ: $2\sqrt{2}$.

б) $x = -\frac{1}{2}$;
$2^x = 2^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$;
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

в) $x = \frac{4}{3}$;
$2^x = 2^{\frac{4}{3}} = \sqrt[3]{2^4} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 2} = 2\sqrt[3]{2}$;
Ответ: $2\sqrt[3]{2}$.

г) $x = -\frac{2}{3}$;
$2^x = 2^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2^2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{4}}$;
Ответ: $\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$.

а) $x = \frac{3}{2}$

Шаг 1. Подставим значение:

$$2^x = 2^{\frac{3}{2}}$$

Шаг 2. Вспомним правило:

$$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \Rightarrow 2^{\frac{3}{2}} = \sqrt{2^3}$$

Шаг 3. Вычислим степень под корнем:

$$2^3 = 8, \quad \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$$

Ответ:

$$\boxed{2\sqrt{2}}$$

б) $x = -\frac{1}{2}$

Шаг 1. Подставим значение:

$$2^x = 2^{-\frac{1}{2}}$$

Шаг 2. Отрицательная степень означает:

$$2^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

Шаг 3. Преобразуем:

$$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{(рационализация знаменателя)}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$

в) $x = \frac{4}{3}$

Шаг 1. Подставим значение:

$$2^x = 2^{\frac{4}{3}}$$

Шаг 2. Преобразуем с помощью правила степеней с рациональным показателем:

$$2^{\frac{4}{3}} = \sqrt[3]{2^4}$$

Шаг 3. Вычислим:

$$2^4 = 16, \quad \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \cdot 2} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{2} = 2 \cdot \sqrt[3]{2}$$

Ответ:

$$\boxed{2\sqrt[3]{2}}$$

г) $x = -\frac{2}{3}$

Шаг 1. Подставим значение:

$$2^x = 2^{-\frac{2}{3}}$$

Шаг 2. Отрицательная степень:

$$2^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2^2}}$$

Шаг 3. Вычислим:

$$2^2 = 4 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt[3]{4}}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{1}{\sqrt[3]{4}}}$$