ГДЗ 10-11 Класс Номер 39.22 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите, на каком отрезке функция $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ принимает наибольшее значение, равное 81, и наименьшее, равное $\frac{1}{27}$.

Дана функция: $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$;

Функция монотонно убывает:
$1 < 3$;
$\frac{1}{3} < 1$;

Наибольшее значение функции равно 81:
$\left(\frac{1}{3}\right)^x = 81^x = \left(\frac{1}{81}\right)^{-x} = \left(\frac{1}{3}\right)^{-4}$;
$x = -4$;

Наименьшее значение функции равно $\frac{1}{27}$:
$\left(\frac{1}{3}\right)^x = \left(\frac{1}{27}\right) = \left(\frac{1}{3}\right)^3$;
$x = 3$;

Ответ: $[-4;\ 3]$.

Дана функция:

$$y = \left( \frac{1}{3} \right)^x$$

1) Свойство функции: убывание

Шаг 1. Анализ основания

• Основание показательной функции: $\frac{1}{3}$
• Число $\frac{1}{3} = 0{,}333\dots$, и оно меньше 1, но больше 0:

  $$0 < \frac{1}{3} < 1$$

Шаг 2. Условие монотонности

• Если $0 < a < 1$, то функция $y = a^x$ монотонно убывает:
  При увеличении $x$, значение $y$ уменьшается.

Шаг 3. Подтверждение

$$1 < 3 \Rightarrow \frac{1}{3} < 1 \Rightarrow \text{функция убывает}$$

2) Наибольшее значение функции — $81$

Шаг 1. Нужно найти $x$, при котором:

$$\left( \frac{1}{3} \right)^x = 81$$

Шаг 2. Преобразуем 81

$$81 = 3^4 \Rightarrow \frac{1}{81} = 3^{-4} = \left( \frac{1}{3} \right)^4 \Rightarrow \left( \frac{1}{3} \right)^{-4} = 3^4 = 81$$

Шаг 3. Сравнение

$$\left( \frac{1}{3} \right)^x = \left( \frac{1}{3} \right)^{-4} \Rightarrow x = -4$$

Вывод:

Функция достигает значения $y = 81$ при $x = -4$

3) Наименьшее значение функции — $\dfrac{1}{27}$

Шаг 1. Нужно найти $x$, при котором:

$$\left( \frac{1}{3} \right)^x = \frac{1}{27}$$

Шаг 2. Преобразуем $\frac{1}{27}$

$$27 = 3^3 \Rightarrow \frac{1}{27} = \left( \frac{1}{3} \right)^3$$

Шаг 3. Сравнение

$$\left( \frac{1}{3} \right)^x = \left( \frac{1}{3} \right)^3 \Rightarrow x = 3$$

Вывод:

Функция достигает значения $y = \dfrac{1}{27}$ при $x = 3$

4) Промежуток, где функция принимает значения от 81 до $\frac{1}{27}$

Шаг 1. Напомним:

• Функция убывает
• Наибольшее значение: $y = 81$ при $x = -4$
• Наименьшее значение: $y = \frac{1}{27}$ при $x = 3$

Шаг 2. Вывод

• Значит, все значения от 81 до $\frac{1}{27}$ функция принимает на отрезке от $x = -4$ до $x = 3$

Ответ:

$$[-4;\ 3]$$