ГДЗ 10-11 Класс Номер 39.26 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Дана функция $y = f(x)$, где

$$f(x) = \begin{cases} \left(\dfrac{1}{2}\right)^x, & \text{если } x < 0, \\ \sqrt{x} + 1, & \text{если } x \geq 0. \end{cases}$$

а) Вычислите $f(-5);\ f(-2{,}5);\ f(0);\ f(4);\ f(1{,}69);$

б) постройте график функции $y = f(x);$

в) прочитайте график функции.

Дана функция:

$$f(x) = \begin{cases} \left(\dfrac{1}{2}\right)^x, & \text{если } x < 0 \\ \sqrt{x} + 1, & \text{если } x \geq 0 \end{cases}$$

а) Значения функции:
$f(-5) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-5} = 2^5 = 32;$
$f(-2{,}5) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2{,}5} = 2^{2{,}5} = 2^2 \cdot 2^{0{,}5} = 4\sqrt{2};$
$f(0) = \sqrt{0} + 1 = 0 + 1 = 1;$
$f(4) = \sqrt{4} + 1 = 2 + 1 = 3;$
$f(1{,}69) = \sqrt{1{,}69} + 1 = 1{,}3 + 1 = 2{,}3;$

б) Построить график функции $y = f(x)$:

$y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x$ — показательная функция:

$y = \sqrt{x} + 1$ — уравнение ветви параболы:

График функции:

в) Свойства функции:
$D(f) = (-\infty;\ +\infty);$
Ни чётная, ни нечётная;
Возрастает на луче $[0;\ +\infty)$ и убывает на луче $(-\infty;\ 0]$;
Ограничена снизу, не ограничена сверху;
$y_{\min} = 1, \ y_{\max}$ — не существует;
Непрерывна на всей области определения;
$E(f) = [1;\ +\infty);$
Функция дифференцируема во всех точках, кроме $x = 0$.

Дано:

$$f(x) = \begin{cases} \left(\dfrac{1}{2}\right)^x, & \text{если } x < 0 \\ \sqrt{x} + 1, & \text{если } x \geq 0 \end{cases}$$

а) Вычисление значений функции

1. $f(-5)$

• $-5 < 0$, значит используем:

$$f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x = \left(\frac{1}{2}\right)^{-5}$$ $$= \left(2^{-1}\right)^{-5} = 2^5 = \boxed{32}$$

2. $f(-2{,}5)$

• $-2{,}5 < 0$, используем:

$$f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2{,}5} = 2^{2{,}5} = 2^2 \cdot 2^{0{,}5} = 4 \cdot \sqrt{2}$$ $$\boxed{f(-2{,}5) = 4\sqrt{2}}$$

3. $f(0)$

• $0 \geq 0$, используем:

$$f(0) = \sqrt{0} + 1 = 0 + 1 = \boxed{1}$$

4. $f(4)$

• $4 \geq 0$, используем:

$$f(4) = \sqrt{4} + 1 = 2 + 1 = \boxed{3}$$

5. $f(1{,}69)$

• $1{,}69 \geq 0$, используем:

$$f(1{,}69) = \sqrt{1{,}69} + 1$$

Так как:

$$\sqrt{1{,}69} = 1{,}3 \Rightarrow f(1{,}69) = 1{,}3 + 1 = \boxed{2{,}3}$$

Итог для пункта а):

$$f(-5)=32;f(-\mathrm{2,5})=4\sqrt{2};$$

$$f(-5) = 32;\quad f(-2{,}5) = 4\sqrt{2};\quad f(0) = 1;\quad f(4) = 3;\quad f(1{,}69) = 2{,}3$$

б) Построение графика функции

1. График $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$, для $x < 0$

• Это показательная функция с основанием $\frac{1}{2}$
• Так как $0 < \frac{1}{2} < 1$, функция убывает
• При $x \to -\infty$, $y \to +\infty$
• При $x \to 0^-$, $y \to 1$

Построим таблицу значений:

• График непрерывно приближается к точке $(0; 1)$, но не включает её (вырезанная точка)

2. График $y = \sqrt{x} + 1$, для $x \geq 0$

• Это модифицированная функция $y = \sqrt{x}$, с вертикальным сдвигом вверх на 1
• Область определения: $x \geq 0$
• Функция возрастает, но замедленно

Построим таблицу значений:

• Точка $(0;\ 1)$ входит в график (замкнутая)

3. Поведение в точке $x = 0$

• Слева: $\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{1}{2}\right)^x = 1$
• Справа: $f(0) = \sqrt{0} + 1 = 1$

Значения совпадают ⇒ график непрерывен в точке $x = 0$

Итог:

• Левая часть — убывающая показательная функция, стремится к бесконечности при $x \to -\infty$
• Правая часть — возрастающая ветвь, начиная с $(0;\ 1)$
• График гладкий, но не дифференцируем в точке $x = 0$ (см. ниже)

в) Свойства функции

1. Область определения $D(f)$:

• Левая часть определена при $x < 0$
• Правая часть определена при $x \geq 0$

$$D(f) = (-\infty;\ +\infty)$$

2. Чётность / нечётность

Проверим:

• $f(-x) \ne f(x)$, например:

$$f(-1) = 2,\quad f(1) = \sqrt{1} + 1 = 2,\quad \text{но } f(-2) = 4,\ f(2) = \sqrt{2} + 1 < 4$$

Функция не сохраняет ни $f(-x) = f(x)$, ни $f(-x) = -f(x)$

Вывод: ни чётная, ни нечётная

3. Монотонность

• $(-\infty;\ 0]$: функция убывает (показательная с $0 < a < 1$)
• $[0;\ +\infty)$: функция возрастает (корень + константа)

4. Ограниченность

• Снизу: минимальное значение $y = f(0) = 1$
• Сверху: нет верхней границы (показательная стремится к $+\infty$, так же как $\sqrt{x} + 1$)

5. Наименьшее и наибольшее значения

• Наименьшее значение достигается при $x = 0$:

$$y_{\min} = f(0) = 1$$

• Наибольшего значения нет, так как $y \to +\infty$ при $x \to -\infty$ и при $x \to +\infty$

6. Непрерывность

• Показательная и корень — непрерывны на своих промежутках
• В точке склейки $x = 0$: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 1$

$$\text{Функция непрерывна на } (-\infty;\ +\infty)$$

7. Область значений $E(f)$:

• Минимум $y = 1$, достигается
• Обе части стремятся к $+\infty$

$$E(f) = [1;\ +\infty)$$

8. Дифференцируемость

• На $x < 0$: $f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x = 2^{-x} \Rightarrow f'(x) = -\ln 2 \cdot 2^{-x}$
• На $x > 0$: $f(x) = \sqrt{x} + 1 \Rightarrow f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

В точке $x = 0$:

• Слева: $f’_-(0) = -\ln 2 \cdot 2^{0} = -\ln 2$
• Справа: $f’_+(0) = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = +\infty$

Производные не равны, более того, правая производная не существует

$$\text{Функция не дифференцируема в точке }x=0$$$x = 0$