ГДЗ 10-11 Класс Номер 39.27 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Дана функция:

$$f(x) = \begin{cases} \left(\dfrac{1}{4}\right)^x, & \text{если } x \leq 0; \\ \cos x, & \text{если } x > 0 \end{cases}$$

а) Значения функции:
$f(-3) = \left(\dfrac{1}{4}\right)^{-3} = 4^3 = 64;$
$f(-2) = \left(\dfrac{1}{4}\right)^{-2} = 4^2 = 16;$
$f(-1{,}5) = \left(\dfrac{1}{4}\right)^{-1{,}5} = 4^{1{,}5} = (2^2)^{1{,}5} = 2^3 = 8;$
$f(0) = \left(\dfrac{1}{4}\right)^0 = 1;$
$f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \cos \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2};$
$f\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) = \cos \dfrac{3\pi}{2} = 0;$

б) Построить график функции $y = f(x)$:

$y = \left(\dfrac{1}{4}\right)^x$ — показательная функция:

$y = \cos x$ — уравнение синусоиды:

График функции:

в) Свойства функции:
$D(f) = (-\infty;\ +\infty);$
Ни чётная, ни нечётная;
Убывает на промежутках $(-\infty;\ \pi) \cup (2\pi + 2\pi n;\ 3\pi + 2\pi n);$
Возрастает на промежутках $(\pi + 2\pi n;\ 2\pi + 2\pi n);$
Ограничена снизу, не ограничена сверху;
$y_{\min} = -1, \quad y_{\max}$ — не существует;
Непрерывна на всей области определения;
$E(f) = [-1;\ +\infty);$
Функция дифференцируема во всех точках, кроме $x = 0$.

Дана функция:

$$f(x) = \begin{cases} \left(\dfrac{1}{4}\right)^x, & \text{если } x \leq 0 \\ \cos x, & \text{если } x > 0 \end{cases}$$

а) Вычисление значений функции

1. $f(-3)$

Так как $-3 \leq 0$, используем:

$$f(-3) = \left(\dfrac{1}{4}\right)^{-3} = 4^3 = 64$$

2. $f(-2)$

$-2 \leq 0$, значит:

$$f(-2) = \left(\dfrac{1}{4}\right)^{-2} = 4^2 = 16$$

3. $f(-1{,}5)$

$-1{,}5 \leq 0$, значит:

$$f(-1{,}5) = \left(\dfrac{1}{4}\right)^{-1{,}5} = 4^{1{,}5} = (2^2)^{1{,}5} = 2^{3} = 8$$

4. $f(0)$

$0 \leq 0$, значит:

$$f(0) = \left(\dfrac{1}{4}\right)^0 = 1$$

5. $f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$

$$\dfrac{\pi}{4} > 0 \Rightarrow f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$$

6. $f\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)$

$$\dfrac{3\pi}{2} > 0 \Rightarrow f\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) = \cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) = 0$$

Ответ к пункту а):

$$f(-3)=64;f(-2)=16;f(-\mathrm{1,5})=8;$$

$$f(-3) = 64;\quad f(-2) = 16;\quad f(-1{,}5) = 8;\quad f(0) = 1;\quad f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2};\quad f\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) = 0$$

б) Построение графика функции $y = f(x)$

1. Левая часть: $y = \left(\dfrac{1}{4}\right)^x$, при $x \leq 0$

Это показательная функция с основанием $\dfrac{1}{4} < 1$, то есть убывающая, но при переходе к отрицательным степеням она растёт:

• $\left(\dfrac{1}{4}\right)^0 = 1$
• $\left(\dfrac{1}{4}\right)^{-1} = 4$
• $\left(\dfrac{1}{4}\right)^{-2} = 16$
• $\left(\dfrac{1}{4}\right)^{-3} = 64$

График гладкий, непрерывный, возрастает при $x \leq 0$

2. Правая часть: $y = \cos x$, при $x > 0$

Это тригонометрическая функция, определённая на $(0;\ +\infty)$, периодическая с периодом $2\pi$

Ключевые точки:

При $x = 0$, используется левая часть $f(0) = 1$, поэтому в точке $x = 0$ на графике будет замкнутая точка на кривой $y = \left(\frac{1}{4}\right)^x$ и вырезанная точка на синусоиде

Итог:

• График состоит из двух частей:
  • Убывающая степенная ветвь слева (но при отрицательных $x$ — возрастает)
  • Колеблющаяся синусоида справа
• В точке $x = 0$ график непрерывен, потому что:

  $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \left(\dfrac{1}{4}\right)^0 = 1, \quad \lim_{x \to 0^+} f(x) = \cos(0) = 1, \quad f(0) = 1$$

в) Свойства функции

1. Область определения $D(f)$

• Обе части определены: $\left(\frac{1}{4}\right)^x$ при $x \leq 0$, $\cos x$ при $x > 0$

$$D(f) = (-\infty;\ +\infty)$$

2. Чётность и нечётность

Проверим:

• $f(-x) \ne f(x)$, например:

  $$f(-\pi) = \left(\dfrac{1}{4}\right)^{-\pi} = 4^{\pi} > 1,\quad f(\pi) = \cos \pi = -1$$

• $f(-x) \ne -f(x)$

Следовательно, функция ни чётная, ни нечётная

3. Монотонность

• На $(-\infty;\ 0]$: $\left(\frac{1}{4}\right)^x = 4^{-x}$ — возрастает
• На $(0;\ +\infty)$: $\cos x$ — не монотонна, а периодически убывает и возрастает

Примеры:

• Убывает на: $(0;\ \pi)$, $(2\pi;\ 3\pi)$, …
• Возрастает на: $(\pi;\ 2\pi)$, $(3\pi;\ 4\pi)$, …

4. Ограниченность

• Слева (на $x \leq 0$): значения $f(x) \to +\infty$ при $x \to -\infty$
• Справа (на $x > 0$): $\cos x \in [-1;\ 1]$

$$\text{Функция не ограничена сверху, но ограничена снизу: } y \geq -1$$

5. Наименьшее и наибольшее значения

• Наименьшее значение: достигается, когда $\cos x = -1$ при $x = \pi,\ 3\pi,\ …$

  $$y_{\min} = -1$$

• Наибольшего значения нет, так как $\left(\frac{1}{4}\right)^x \to +\infty$ при $x \to -\infty$

6. Непрерывность

• Обе части функции непрерывны на своих промежутках
• Проверим в точке $x = 0$:

$$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \left(\frac{1}{4}\right)^0 = 1;\quad \lim_{x \to 0^+} f(x) = \cos 0 = 1;\quad f(0) = 1$$

→ Функция непрерывна на всей области определения

7. Область значений $E(f)$

• Левая часть: $\left(\frac{1}{4}\right)^x$ при $x \leq 0$ принимает значения от $1$ до $+\infty$
• Правая часть: $\cos x \in [-1;\ 1]$

→ Объединяя:

$$E(f) = [-1;\ +\infty)$$

8. Дифференцируемость

• Левая часть: $f(x) = \left(\frac{1}{4}\right)^x = 4^{-x} \Rightarrow f'(x) = -\ln 4 \cdot 4^{-x}$ — дифференцируема
• Правая часть: $f(x) = \cos x \Rightarrow f'(x) = -\sin x$ — дифференцируема

Проверим в точке $x = 0$:

• Слева: $f’_-(0) = -\ln 4 \cdot 4^{0} = -\ln 4$
• Справа: $f’_+(0) = -\sin 0 = 0$

Производные не совпадают, следовательно:

$$\text{Функция не дифференцируема в точке }x=0$$$x = 0$