ГДЗ 10-11 Класс Номер 39.28 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите область значений функции:

а) $y = 3 \cdot 2^x$;

б) $y = 14 \cdot \left( \dfrac{1}{2} \right)^x$;

в) $y = \dfrac{1}{2} \cdot 7^x$;

г) $y = \dfrac{4}{3} \cdot \left( \dfrac{1}{2} \right)^x$

Найти область значений функции:

а) $y = 3 \cdot 2^x$;

Множество значений:
$2^x > 0$;
$3 \cdot 2^x > 0$;

Ответ: $E(y) = (0; +\infty)$.

б) $y = 14 \cdot \left( \dfrac{1}{2} \right)^x$;

Множество значений:
$\left( \dfrac{1}{2} \right)^x > 0$;
$14 \cdot \left( \dfrac{1}{2} \right)^x > 0$;

Ответ: $E(y) = (0; +\infty)$.

в) $y = \dfrac{1}{2} \cdot 7^x$;

Множество значений:
$7^x > 0$;
$\dfrac{1}{2} \cdot 7^x > 0$;

Ответ: $E(y) = (0; +\infty)$.

г) $y = \dfrac{4}{3} \cdot \left( \dfrac{1}{2} \right)^x$;

Множество значений:
$\left( \dfrac{1}{2} \right)^x > 0$;
$\dfrac{4}{3} \cdot \left( \dfrac{1}{2} \right)^x > 0$;

Ответ: $E(y) = (0; +\infty)$.

Найти область значений функции:
Область значений — это множество всех возможных значений $y$, которые принимает функция при всех допустимых $x \in \mathbb{R}$.

а) $y = 3 \cdot 2^x$

Шаг 1. Анализ основания

$2^x$ — показательная функция с основанием $a = 2 > 1$

Свойства:

• Определена на всей числовой прямой: $x \in (-\infty; +\infty)$
• $2^x > 0$ при любом $x$
• Значения $2^x \in (0; +\infty)$

Шаг 2. Умножение на 3

• $3 \cdot 2^x > 0$, так как $3 > 0$, $2^x > 0$
• Значения сохраняются положительными

Вывод:

$$E(y) = (0; +\infty)$$

б) $y = 14 \cdot \left( \dfrac{1}{2} \right)^x$

Шаг 1. Анализ основания

• $\left( \dfrac{1}{2} \right)^x = 2^{-x}$
• Также > 0 для всех $x$

Шаг 2. Умножение на положительное число

• $14 \cdot \left( \dfrac{1}{2} \right)^x > 0$ для всех $x$
• Функция убывает, но остаётся положительной

Вывод:

$$E(y) = (0; +\infty)$$

в) $y = \dfrac{1}{2} \cdot 7^x$

Шаг 1. Основание

• $7^x > 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$

Шаг 2. Множитель

• $\dfrac{1}{2} > 0$, значит:

$$\dfrac{1}{2} \cdot 7^x > 0$$

Вывод:

$$E(y) = (0; +\infty)$$

г) $y = \dfrac{4}{3} \cdot \left( \dfrac{1}{2} \right)^x$

Шаг 1. Основание

• $\left( \dfrac{1}{2} \right)^x = 2^{-x} > 0$ для всех $x$

Шаг 2. Множитель

• $\dfrac{4}{3} > 0$

Следовательно:

• $\dfrac{4}{3} \cdot \left( \dfrac{1}{2} \right)^x > 0$

Вывод:

$$E(y) = (0; +\infty)$$

Итоговые ответы:

а) $E(y) = (0; +\infty)$
б) $E(y) = (0; +\infty)$
в) $E(y) = (0; +\infty)$
г) $E(y)=(0;+\mathrm{\infty })$