ГДЗ 10-11 Класс Номер 39.29 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = 3^x + 1$;

б) $y = \left(\dfrac{7}{9}\right)^x + 6$;

в) $y = 17^x — 2$;

г) $y = \left(\dfrac{2}{5}\right)^x — 8$

Найти область значений функции:

а) $y = 3^x + 1$;

Множество значений:
$3^x > 0$;
$3^x + 1 > 1$;
Ответ: $E(y) = (1; +\infty)$.

б) $y = \left(\dfrac{7}{9}\right)^x + 6$;

Множество значений:
$\left(\dfrac{7}{9}\right)^x > 0$;
$\left(\dfrac{7}{9}\right)^x + 6 > 6$;
Ответ: $E(y) = (6; +\infty)$.

в) $y = 17^x — 2$;

Множество значений:
$17^x > 0$;
$17^x — 2 > -2$;
Ответ: $E(y) = (-2; +\infty)$.

г) $y = \left(\dfrac{2}{5}\right)^x — 8$;

Множество значений:
$\left(\dfrac{2}{5}\right)^x > 0$;
$\left(\dfrac{2}{5}\right)^x — 8 > -8$;
Ответ: $E(y) = (-8; +\infty)$.

Найти область значений функции — то есть множество всех возможных значений $y$, которые функция может принимать при всех допустимых значениях переменной $x \in \mathbb{R}$.

а) $y = 3^x + 1$

Шаг 1. Анализ функции $3^x$

• Это показательная функция с основанием $a = 3 > 1$
• Свойства:
  • Определена при всех $x \in \mathbb{R}$
  • $3^x > 0$ для любого $x$
  • $\lim_{x \to -\infty} 3^x = 0$
  • $\lim_{x \to +\infty} 3^x = +\infty$

Шаг 2. Прибавим 1

• $y = 3^x + 1 \Rightarrow y > 0 + 1 = 1$
• Минимальное значение функции не достигается, так как $3^x \to 0$, но никогда не равен 0

Вывод:

$$E(y) = (1;\ +\infty)$$

б) $y = \left( \dfrac{7}{9} \right)^x + 6$

Шаг 1. Анализ показательной части

• Основание $\dfrac{7}{9}$ удовлетворяет:
  • $0 < \dfrac{7}{9} < 1$, значит функция убывает
  • Всегда положительна: $\left( \dfrac{7}{9} \right)^x > 0$
  • При $x \to -\infty$: $\left( \dfrac{7}{9} \right)^x \to +\infty$
  • При $x \to +\infty$: $\left( \dfrac{7}{9} \right)^x \to 0$

Шаг 2. Прибавим 6

• $y = \left( \dfrac{7}{9} \right)^x + 6 \Rightarrow y > 6$

Вывод:

$$E(y) = (6;\ +\infty)$$

в) $y = 17^x — 2$

Шаг 1. Анализ функции $17^x$

• $17^x > 0$ при любом $x$
• $\lim_{x \to -\infty} 17^x = 0$
• $\lim_{x \to +\infty} 17^x = +\infty$

Шаг 2. Вычтем 2

• $y = 17^x — 2 \Rightarrow y > -2$
• Минимум — стремится к $-2$, но не достигается

Вывод:

$$E(y) = (-2;\ +\infty)$$

г) $y = \left( \dfrac{2}{5} \right)^x — 8$

Шаг 1. Анализ показательной части

• $0 < \dfrac{2}{5} < 1 \Rightarrow$ убывающая функция
• $\left( \dfrac{2}{5} \right)^x > 0$
• При $x \to +\infty \Rightarrow y \to -8$
• При $x \to -\infty \Rightarrow \left( \dfrac{2}{5} \right)^x \to +\infty$

Шаг 2. Вычтем 8

• $y = \left( \dfrac{2}{5} \right)^x — 8 \Rightarrow y > -8$

Вывод:

$$E(y)=(-8;+\mathrm{\infty })$$