ГДЗ 10-11 Класс Номер 39.39 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите графически уравнение:

а) $3^x = 4 — x$;

б) $\left( \frac{1}{2} \right)^x = x + 3$;

в) $5^x = 6 — x$;

г) $\left( \frac{1}{7} \right)^x = x + 8$

Решить графически уравнение:

а) $3^x = 4 — x$;
$y = 3^x$ — показательная функция:

$y = 4 — x$ — уравнение прямой:

Графики функций:

Ответ: $x = 1$.

б) $\left( \frac{1}{2} \right)^x = x + 3$;
$y = \left( \frac{1}{2} \right)^x$ — показательная функция:

$y = x + 3$ — уравнение прямой:

Графики функций:

Ответ: $x = -1$.

в) $5^x = 6 — x$;
$y = 5^x$ — показательная функция:

$y = 6 — x$ — уравнение прямой:

Графики функций:

Ответ: $x = 1$.

г) $\left( \frac{1}{7} \right)^x = x + 8$;
$y = \left( \frac{1}{7} \right)^x$ — показательная функция:

$y = x + 8$ — уравнение прямой:

Графики функций:

Ответ: $x = -1$.

а) $3^x = 4 — x$

Шаг 1. Преобразуем уравнение в систему двух функций:

Уравнение $3^x = 4 — x$ означает, что графики двух функций пересекаются:

• $y_1 = 3^x$
• $y_2 = 4 — x$

Шаг 2. Построим таблицы значений для обеих функций

Функция $y = 3^x$:

Функция показательная, возрастает, график проходит через точку (0;1).

Функция $y = 4 — x$:

Прямая с угловым коэффициентом -1, убывает, пересекает ось $y$ в точке (0;4), ось $x$ — в точке (4;0).

Шаг 3. Найдём точку пересечения графиков

Из таблиц видно:

• $y = 3^1 = 3$
• $y = 4 — 1 = 3$

Обе функции дают значение 3 при $x = 1$, значит:

Точка пересечения: $(1; 3)$

Ответ: $x = 1$

б) $\left( \frac{1}{2} \right)^x = x + 3$

Шаг 1. Функции:

• $y_1 = \left( \frac{1}{2} \right)^x$
• $y_2 = x + 3$

Шаг 2. Таблицы значений

Функция $y = \left( \frac{1}{2} \right)^x$:

(так как $\left( \frac{1}{2} \right)^{-x} = 2^x$)

Функция $y = x + 3$:

Шаг 3. Найдём точку пересечения

Подставим $x = -1$:

• $y_1 = \left( \frac{1}{2} \right)^{-1} = 2$
• $y_2 = -1 + 3 = 2$

Совпали! Значит:

Точка пересечения: $(-1; 2)$

Ответ: $x = -1$

в) $5^x = 6 — x$

Шаг 1. Функции:

• $y_1 = 5^x$
• $y_2 = 6 — x$

Шаг 2. Таблицы значений

Функция $y = 5^x$:

Функция $y = 6 — x$:

Шаг 3. Подбор значения

Подставим $x = 1$:

• $y_1 = 5^1 = 5$
• $y_2 = 6 — 1 = 5$

Точка пересечения: $(1; 5)$

Ответ: $x = 1$

г) $\left( \frac{1}{7} \right)^x = x + 8$

Шаг 1. Функции:

• $y_1 = \left( \frac{1}{7} \right)^x$
• $y_2 = x + 8$

Шаг 2. Таблицы значений

Функция $y = \left( \frac{1}{7} \right)^x$:

(опять же, $\left( \frac{1}{7} \right)^{-x} = 7^x$)

Функция $y = x + 8$:

Шаг 3. Подбор точки пересечения

Подставим $x = -1$:

• $y_1 = \left( \frac{1}{7} \right)^{-1} = 7$
• $y_2 = -1 + 8 = 7$

Точка пересечения: $(-1; 7)$

Ответ: $x=-1$