ГДЗ 10-11 Класс Номер 39.43 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

При каких значениях $x$ график заданной показательной функции лежит ниже графика заданной линейной функции:

а) $y = 2^x$, $y = -\frac{3}{2}x — 1$;

Функция $y = 2^x$ возрастает на $R$;
Функция $y = -\frac{3}{2}x — 1$ убывает на $R$;

Методом перебора найдем пересечение:
$y_1(-1) = 2^{-1} = \frac{1}{2} = 0,5$;
$y_2(-1) = -\frac{3}{2} \cdot (-1) — 1 = 1,5 — 1 = 0,5$;

Ответ: $x \in (-\infty; -1)$.

б) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$, $y = -x — 2$;

$y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ — показательная функция:

$y = -x — 2$ — уравнение прямой:

Графики функций:

Ответ: $x \in \varnothing$.

в) $y = \left(\frac{1}{5}\right)^x$, $y = 3x + 1$;

Функция $y = \left(\frac{1}{5}\right)^x$ убывает на $R$;
Функция $y = 3x + 1$ возрастает на $R$;

Методом перебора найдем пересечение:
$y_1(0) = \left(\frac{1}{5}\right)^0 = 1$;
$y_2(0) = 3 \cdot 0 + 1 = 1$;

Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

г) $y = 3^x$, $y = -2x + 5$;

Функция $y = 3^x$ возрастает на $R$;
Функция $y = -2x + 5$ убывает на $R$;

Методом перебора найдем пересечение:
$y_1(1) = 3^1 = 3$;
$y_2(1) = -2 \cdot 1 + 5 = 3$;

Ответ: $x \in (-\infty; 1)$.

При каких значениях $x$ график заданной показательной функции лежит ниже графика заданной линейной функции, то есть:

$$y_1(x) < y_2(x)$$

где:

• $y_1(x)$ — показательная функция,
• $y_2(x)$ — линейная функция.

а) $y = 2^x$, $y = -\dfrac{3}{2}x — 1$

1. Свойства функций:

• $y = 2^x$ — показательная функция с основанием $a = 2 > 1$, поэтому:
  • Область определения: $x \in \mathbb{R}$
  • Монотонность: возрастает на всей числовой прямой
  • Значения: $y > 0$
• $y = -\dfrac{3}{2}x — 1$ — линейная функция:
  • Угловой коэффициент $k = -\dfrac{3}{2} < 0$, значит функция убывает
  • Область определения: $x \in \mathbb{R}$

2. Поиск точки пересечения:

Приравниваем функции:

$$2^x = -\dfrac{3}{2}x — 1$$

Это уравнение не решается аналитически элементарно, используем метод подбора:

Проверим $x = -1$:

$$y_1(-1) = 2^{-1} = \dfrac{1}{2} = 0.5 \quad y_2(-1) = -\dfrac{3}{2} \cdot (-1) — 1 = 1.5 — 1 = 0.5$$

Значения равны → точка пересечения: $x = -1$

3. Сравнение функций относительно точки пересечения:

• Так как:
  • $y = 2^x$ возрастает
  • $y = -\dfrac{3}{2}x — 1$ убывает
• То при $x < -1$:
  • $y_1(x) < y_2(x)$
• При $x > -1$:
  • $y_1(x) > y_2(x)$

Ответ:

$$x \in (-\infty; -1)$$

б) $y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x$, $y = -x — 2$

1. Свойства функций:

• $y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x$:
  • Основание $a = \dfrac{1}{2} < 1$
  • Функция убывает
  • Значения: $y > 0$
• $y = -x — 2$:
  • Угловой коэффициент $-1 < 0$, функция убывает
  • Область определения: $x \in \mathbb{R}$

2. Таблицы значений:

Для показательной функции:

Для линейной функции:

3. Анализ:

Сравним значения:

• При $x = -2$: $y_{\text{показ.}} = 4 > y_{\text{лин.}} = 0$
• При $x = -1$: $y_{\text{показ.}} = 2 > y_{\text{лин.}} = -1$
• При $x = 0$: $y_{\text{показ.}} = 1 > y_{\text{лин.}} = -2$

→ График показательной функции всегда выше линейной

Ответ:

$$x \in \varnothing$$

в) $y = \left(\dfrac{1}{5}\right)^x$, $y = 3x + 1$

1. Свойства функций:

• $y = \left(\dfrac{1}{5}\right)^x$:
  • Основание $a = \dfrac{1}{5} < 1$
  • Функция убывает
  • Значения: $y > 0$
• $y = 3x + 1$:
  • Угловой коэффициент $3 > 0$, функция возрастает

2. Найдём точку пересечения:

Приравниваем:

$$\left(\dfrac{1}{5}\right)^x = 3x + 1$$

Проверим $x = 0$:

$$y_1(0) = \left(\dfrac{1}{5}\right)^0 = 1 \quad y_2(0) = 3 \cdot 0 + 1 = 1$$

Значения равны → точка пересечения: $x = 0$

3. Сравнение:

• При $x < 0$:
  • $y_1(x) > 1$
  • $y_2(x) < 1$
    → $y_1(x) > y_2(x)$
• При $x > 0$:
  • $y_1(x) < 1$
  • $y_2(x) > 1$
    → $y_1(x) < y_2(x)$

Ответ:

$$x \in (0; +\infty)$$

г) $y = 3^x$, $y = -2x + 5$

1. Свойства функций:

• $y = 3^x$:
  • Основание $a = 3 > 1$
  • Функция возрастает
  • Значения: $y > 0$
• $y = -2x + 5$:
  • Угловой коэффициент $-2 < 0$
  • Функция убывает

2. Поиск точки пересечения:

Приравниваем:

$$3^x = -2x + 5$$

Проверим $x = 1$:

$$y_1(1) = 3^1 = 3 \quad y_2(1) = -2 \cdot 1 + 5 = 3$$

Значения равны → точка пересечения: $x = 1$

3. Сравнение:

• $y = 3^x$: возрастает
• $y = -2x + 5$: убывает

→ При $x < 1$:

• $y_1(x) < y_2(x)$

→ При $x > 1$:

• $y_1(x) > y_2(x)$

Ответ:

$$x \in (-\infty; 1)$$

Итоговые ответы:

а) $x \in (-\infty; -1)$
б) $x \in \varnothing$
в) $x \in (0; +\infty)$
г) $x\in (-\mathrm{\infty };1)$