ГДЗ 10-11 Класс Номер 39.47 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить неравенство:

а) $2^x \geq \frac{2}{x}$;

Неравенство всегда верно при $x < 0$;
Функция $y = 2^x$ возрастает на $(0; +\infty)$;
Функция $y = \frac{2}{x}$ убывает на $(0; +\infty)$;
Методом перебора найдем пересечение:
$y_1(1) = 2^1 = 2$;
$y_2(1) = \frac{2}{1} = 2$;
Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup [1; +\infty)$.

б) $\left(\frac{1}{4}\right)^x < -\frac{4}{x}$;

Неравенство имеет решения при $x < 0$;
Функция $y = \left(\frac{1}{4}\right)^x$ убывает на $(-\infty; 0)$;
Функция $y = -\frac{4}{x}$ возрастает на $(-\infty; 0)$;
Методом перебора найдем пересечение:
$y_1(-1) = \left(\frac{1}{4}\right)^{-1} = 4$;
$y_2(-1) = -\frac{4}{-1} = 4$;
Ответ: $x \in (-1; 0)$.

в) $5^x \leq \frac{5}{x}$;

Неравенство имеет решения при $x > 0$;
Функция $y = 5^x$ возрастает на $(0; +\infty)$;
Функция $y = \frac{5}{x}$ убывает на $(0; +\infty)$;
Методом перебора найдем пересечение:
$y_1(1) = 5^1 = 5$;
$y_2(1) = \frac{5}{1} = 5$;
Ответ: $x \in (0; 1]$.

г) $\left(\frac{1}{8}\right)^x > -\frac{8}{x}$;

Неравенство всегда верно при $x > 0$;
Функция $y = \left(\frac{1}{8}\right)^x$ убывает на $(-\infty; 0)$;
Функция $y = -\frac{8}{x}$ возрастает на $(-\infty; 0)$;
Методом перебора найдем пересечение:
$y_1(-1) = \left(\frac{1}{8}\right)^{-1} = 8$;
$y_2(-1) = -\frac{8}{-1} = 8$;
Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$.

а) $2^x \geq \dfrac{2}{x}$

1. Область определения (ОДЗ):

• Левая часть $2^x$ определена при всех $x \in \mathbb{R}$.
• Правая часть $\dfrac{2}{x}$ определена при $x \ne 0$.

Следовательно, область допустимых значений:

$$x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$$

2. Поведение функций:

• $y_1 = 2^x$ — показательная функция, основание $2 > 1$ → возрастает на всей числовой прямой.
• $y_2 = \dfrac{2}{x}$ — гипербола, убывает на интервале $(0; +\infty)$ и возрастает на $(-\infty; 0)$.

3. Исследование на интервале $x < 0$:

• При отрицательных значениях $x$:
  $2^x \in (0; 1)$
  $\dfrac{2}{x} < 0$

→ Тогда $2^x > \dfrac{2}{x}$ всегда, поскольку левая часть положительная, а правая отрицательная.

Следовательно:

$$\text{На интервале } (-\infty; 0):\quad 2^x \geq \dfrac{2}{x} \text{ — всегда выполняется}$$

4. Исследование на интервале $x > 0$:

Обе функции положительные.
Приравниваем:

$$2^x = \dfrac{2}{x}$$

Проверим при $x = 1$:

• $2^1 = 2$
• $\dfrac{2}{1} = 2$

Равенство достигается при $x = 1$

Проверим окрестности:

• При $x < 1$ (например, $x = 0.5$)
  $2^x = \sqrt{2} \approx 1.41$,
  $\dfrac{2}{0.5} = 4$
  → $2^x < \dfrac{2}{x}$
• При $x > 1$ (например, $x = 2$)
  $2^x = 4$,
  $\dfrac{2}{2} = 1$
  → $2^x > \dfrac{2}{x}$

Значит, неравенство $2^x \geq \dfrac{2}{x}$ выполняется при:

• $x > 1$
• $x = 1$ (равенство)

Итог по пункту а):

$$x \in (-\infty; 0) \cup [1; +\infty)$$

б) $\left(\dfrac{1}{4}\right)^x < -\dfrac{4}{x}$

1. Область определения:

• Левая часть $\left(\dfrac{1}{4}\right)^x$ определена при всех $x \in \mathbb{R}$
• Правая часть $-\dfrac{4}{x}$ определена при $x \ne 0$

ОДЗ:

$$x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$$

2. Поведение функций на $(-\infty; 0)$:

• $\left(\dfrac{1}{4}\right)^x = 4^{-x}$, при $x < 0$ функция возрастает (поскольку $-x > 0$)
• $-\dfrac{4}{x}$, при $x < 0$ — тоже возрастает (значения положительны)

3. Найдём точку пересечения:

При $x = -1$:

• Левая часть: $\left(\dfrac{1}{4}\right)^{-1} = 4$
• Правая часть: $-\dfrac{4}{-1} = 4$

→ Равенство при $x = -1$

4. Исследование неравенства:

• При $x < -1$ (например, $x = -2$)
  $\left(\dfrac{1}{4}\right)^{-2} = 16$,
  $-\dfrac{4}{-2} = 2$
  → $16 > 2$ → не выполняется
• При $x > -1$, но всё ещё $x < 0$ (например, $x = -0.5$)
  $\left(\dfrac{1}{4}\right)^{-0.5} \approx 2$,
  $-\dfrac{4}{-0.5} = 8$
  → $2 < 8$ → неравенство выполняется

Итог по пункту б):

$$x \in (-1; 0)$$

в) $5^x \leq \dfrac{5}{x}$

1. Область определения:

• Левая часть $5^x$ определена на всей числовой прямой
• Правая часть $\dfrac{5}{x}$ определена при $x \ne 0$

Дополнительно:
Ищем решение только на $x > 0$, так как при $x < 0$ правая часть отрицательна, а левая — положительна, и тогда $5^x > \dfrac{5}{x}$ всегда

ОДЗ:

$$x > 0$$

2. Поведение функций на $x > 0$:

• $5^x$ — возрастает
• $\dfrac{5}{x}$ — убывает

3. Найдём точку пересечения:

При $x = 1$:

• $5^1 = 5$
• $\dfrac{5}{1} = 5$

Равенство при $x = 1$

4. Проверка значений:

• При $x < 1$:
  $5^x < 5$,
  $\dfrac{5}{x} > 5$
  → Неравенство выполняется
• При $x > 1$:
  $5^x > 5$,
  $\dfrac{5}{x} < 5$
  → Не выполняется

Итог по пункту в):

$$x \in (0; 1]$$

г) $\left(\dfrac{1}{8}\right)^x > -\dfrac{8}{x}$

1. Область определения:

• Левая часть определена для всех $x \in \mathbb{R}$
• Правая часть — при $x \ne 0$

ОДЗ:

$$x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$$

2. Разделим исследование на два случая:

Случай 1: $x > 0$

• Левая часть $\left(\dfrac{1}{8}\right)^x \in (0; 1)$
• Правая часть: $-\dfrac{8}{x} < 0$

→ Левая часть положительная, правая — отрицательная
→ Всегда: $\left(\dfrac{1}{8}\right)^x > -\dfrac{8}{x}$

Случай 2: $x < 0$

Проверим пересечение:

При $x = -1$:

• Левая часть: $\left(\dfrac{1}{8}\right)^{-1} = 8$
• Правая часть: $-\dfrac{8}{-1} = 8$

Равенство при $x = -1$

Проверим знак разности:

• При $x < -1$, например, $x = -2$:
  $\left(\dfrac{1}{8}\right)^{-2} = 64$,
  $-\dfrac{8}{-2} = 4$
  → $64 > 4$ — неравенство выполняется
• При $x > -1$, но всё ещё $x < 0$, например, $x = -0.5$:
  $\left(\dfrac{1}{8}\right)^{-0.5} \approx 2.828$,
  $-\dfrac{8}{-0.5} = 16$
  → $2.828 < 16$ — не выполняется

Итог по пункту г):

$$x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$$

Итоговые ответы:

а) $x \in (-\infty; 0) \cup [1; +\infty)$
б) $x \in (-1; 0)$
в) $x \in (0; 1]$
г) $x\in (-\mathrm{\infty };-1)\cup (0;+\mathrm{\infty })$