ГДЗ 10-11 Класс Номер 39.49 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Постройте график функции:

а) $y = 2^{|x|}$;

б) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{|x — 1|}$;

в) $y = 4^{|x|}$;

г) $y = 0{,}2^{|x + 2|}$

Постройте график функции:

а) $y = 2^{|x|}$;

Если $x \geq 0$, тогда:
$y = 2^x$;

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 1 & 2 & 4 \\ \hline \end{array}$$

Если $x < 0$, тогда:
$y = 2^{-x} = \left(\frac{1}{2}\right)^x$;

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -3 & -1 & 0 \\ \hline y & 8 & 2 & 1 \\ \hline \end{array}$$

График функции:

б) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{|x — 1|}$;

Если $x \geq 1$, тогда:
$y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x — 1}$;

$y(1) = \left(\frac{1}{3}\right)^{1 — 1} = \left(\frac{1}{3}\right)^0 = 1$;

Если $x < 1$, тогда:
$y = \left(\frac{1}{3}\right)^{-(x — 1)} = 3^{x — 1}$;

$y(1) = 3^{1 — 1} = 3^0 = 1$;

График функции:

в) $y = 4^{|x|}$;

Если $x \geq 0$, тогда:
$y = 4^x$;

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 1 & 4 & 16 \\ \hline \end{array}$$

Если $x < 0$, тогда:
$y = 4^{-x} = \left(\frac{1}{4}\right)^x$;

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 \\ \hline y & 16 & 4 & 1 \\ \hline \end{array}$$

График функции:

г) $y = 0{,}2^{|x + 2|}$;

Если $x \geq -2$, тогда:
$y = 0{,}2^{x + 2}$;

$y(-2) = 0{,}2^{-2 + 2} = 0{,}2^0 = 1$;

Если $x < -2$, тогда:
$y = 0{,}2^{-(x + 2)} = \left(\frac{1}{5}\right)^{-(x + 2)} = 5^{x + 2}$;

$y(-2) = 5^{-2 + 2} = 5^0 = 1$;

График функции:

а) $y = 2^{|x|}$

1. Область определения:

Функция $2^{|x|}$ определена при всех значениях $x \in \mathbb{R}$, потому что:

• Модуль $|x|$ определён для всех $x$,
• Показательная функция $2^u$ определена для всех $u \in \mathbb{R}$.

2. Разделение на случаи по модулю:

Модуль $|x|$ означает, что выражение $2^{|x|}$ зависит от знака переменной $x$.

• Если $x \geq 0$, то $|x| = x$, значит:

  $$y = 2^x$$

• Если $x < 0$, то $|x| = -x$, значит:

  $$y = 2^{-x} = \left(\frac{1}{2}\right)^x$$

3. Таблицы значений:

Для $x \geq 0$: $y = 2^x$

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 1 & 2 & 4 \\ \hline \end{array}$$

Для $x < 0$: $y = 2^{-x}$

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -3 & -1 & 0 \\ \hline y & 8 & 2 & 1 \\ \hline \end{array}$$

4. Свойства графика:

• График симметричен относительно оси $x = 0$, потому что $|x|$ — чётная функция.
• На интервале $x \geq 0$: возрастающая (показательная)
• На интервале $x < 0$: убывающая
• Минимальное значение: $y = 1$ при $x = 0$

б) $y = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{|x — 1|}$

1. Область определения:

• Функция определена при всех $x \in \mathbb{R}$, так как модуль и показательная функция с положительным основанием определены всюду.

2. Раскрытие модуля:

• Если $x \geq 1$, то $|x — 1| = x — 1$, и:

  $$y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x — 1}$$

• Если $x < 1$, то $|x — 1| = -(x — 1) = 1 — x$, и:

  $$y = \left(\frac{1}{3}\right)^{1 — x} = 3^{x — 1}$$

3. Проверка точки склейки $x = 1$:

• При $x = 1$:
  $y = \left(\frac{1}{3}\right)^0 = 1$

→ Функция непрерывна в точке $x = 1$

4. Свойства графика:

• График симметричен относительно точки $x = 1$
• Для $x < 1$: $y = 3^{x — 1}$ — показательная функция, возрастает
• Для $x \geq 1$: $y = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{x — 1}$ — показательная функция, убывает
• Максимум: $y = 1$ при $x = 1$

в) $y = 4^{|x|}$

1. Область определения:

• Определена на всей числовой прямой, $x \in \mathbb{R}$

2. Разделение по модулю:

• $x \geq 0$: $y = 4^x$
• $x < 0$: $y = 4^{-x} = \left(\frac{1}{4}\right)^x$

3. Таблицы значений:

Для $x \geq 0$:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 1 & 4 & 16 \\ \hline \end{array}$$

Для $x < 0$:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 \\ \hline y & 16 & 4 & 1 \\ \hline \end{array}$$

4. Свойства графика:

• Симметрия относительно оси $x = 0$
• Минимум при $x = 0$, $y = 1$
• Функция убывает при $x < 0$, возрастает при $x > 0$

г) $y = 0{,}2^{|x + 2|}$

1. Область определения:

• Показательная функция определена при любом $x \in \mathbb{R}$

2. Раскрытие модуля:

• $|x + 2|$ зависит от знака выражения $x + 2$
• Если $x \geq -2$:
  $|x + 2| = x + 2$
  Тогда:

  $$y = 0{,}2^{x + 2}$$

• Если $x < -2$:
  $|x + 2| = -(x + 2)$
  Тогда:

  $$y = 0{,}2^{-(x + 2)} = \left(\frac{1}{5}\right)^{-(x + 2)} = 5^{x + 2}$$

3. Проверка точки склейки $x = -2$:

• Подставим $x = -2$ в обе части:

Левая часть (через $x \geq -2$):

$$y = 0{,}2^{-2 + 2} = 0{,}2^0 = 1$$

Правая часть (через $x < -2$):

$$y = 5^{-2 + 2} = 5^0 = 1$$

→ Значения совпадают → функция непрерывна в точке $x = -2$

4. Свойства графика:

• Точка симметрии: $x = -2$
• Для $x \geq -2$:
  $y = 0{,}2^{x + 2}$ — убывает (основа < 1)
• Для $x < -2$:
  $y = 5^{x + 2}$ — возрастает
• Минимум при $x = -2$:
  $y = 1$