ГДЗ 10-11 Класс Номер 39.6 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) ${\left(2^{\frac{1}{3}}\right)}^6$

б) ${\left({\left(\frac{1}{7}\right)}^2\right)}^{\frac{1}{2}}$

в) ${\left(3^{\frac{3}{2}}\right)}^2$

г) ${\left({\left(\frac{3}{4}\right)}^{\frac{1}{3}}\right)}^{-1}$

Найти значение выражения:

а) $\left(2^{\frac{1}{3}}\right)^6 = 2^{\frac{1}{3} \cdot 6} = 2^2 = 4$;
Ответ: 4.

б) $\left(\left(\frac{1}{7}\right)^2\right)^{\frac{1}{2}} = \left(\frac{1}{7}\right)^{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{1}{7}$;
Ответ: $\frac{1}{7}$.

в) $\left(3^{\frac{3}{2}}\right)^2 = 3^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 3^3 = 27$;
Ответ: 27.

г) $\left(\left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{1}{3}}\right)^{-1} = \left(\frac{3}{4}\right)^{-\frac{1}{3}} = \left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{3}}$;
Ответ: $\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{3}}$.

а)

$\left(2^{\frac{1}{3}}\right)^6$

Шаг 1. Используем правило возведения степени в степень:

$$\left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n}$$

Здесь:
$a = 2,\ m = \frac{1}{3},\ n = 6$

Подставляем:

$$\left(2^{\frac{1}{3}}\right)^6 = 2^{\frac{1}{3} \cdot 6}$$

Шаг 2. Умножаем показатели степеней:

$$\frac{1}{3} \cdot 6 = 2$$

Получаем:

$$2^2 = 4$$

Ответ: 4.

б)

$$\left(\left(\frac{1}{7}\right)^2\right)^{\frac{1}{2}}$$

Шаг 1. Применим правило возведения степени в степень:

$$\left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n}$$

Здесь:
$a = \frac{1}{7},\ m = 2,\ n = \frac{1}{2}$

Подставляем:

$$\left(\frac{1}{7}\right)^{2 \cdot \frac{1}{2}} = \left(\frac{1}{7}\right)^1$$

Шаг 2.

$$\left(\frac{1}{7}\right)^1 = \frac{1}{7}$$

Ответ: $\frac{1}{7}$.

в)

$$\left(3^{\frac{3}{2}}\right)^2$$

Шаг 1. Применим правило:

$$\left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n}$$

Здесь:
$a = 3,\ m = \frac{3}{2},\ n = 2$

Подставляем:

$$3^{\frac{3}{2} \cdot 2}$$

Шаг 2. Перемножаем показатели степеней:

$$\frac{3}{2} \cdot 2 = 3$$

Получаем:

$$3^3 = 27$$

Ответ: 27.

г)

$$\left(\left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{1}{3}}\right)^{-1}$$

Шаг 1. Используем правило:

$$\left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n}$$

Здесь:
$a = \frac{3}{4},\ m = \frac{1}{3},\ n = -1$

Подставим:

$$\left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{1}{3} \cdot (-1)} = \left(\frac{3}{4}\right)^{-\frac{1}{3}}$$

Шаг 2. Применим правило отрицательной степени:

$$a^{-m} = \frac{1}{a^m}$$

Значит:

$$\left(\frac{3}{4}\right)^{-\frac{1}{3}} = \left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{1}{3}}$$

Шаг 3. Преобразуем дробь в степени:

$$\left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{1}{3}} = \frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{1}{3}}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{3}}$$

Ответ: $\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{3}}$.