ГДЗ 10-11 Класс Номер 39.7 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти значение выражения:

а) $(2^{-3})^2 \cdot 2^5 = 2^{-6} \cdot 2^5 = 2^{-1} = \frac{1}{2} = 0,5;$
Ответ: 0,5.

б)${}^{}$$\left(\left(\frac{2}{3}\right)^{4,1}\right)^5 : \left(\frac{2}{3}\right)^{20,6} = \left(\frac{2}{3}\right)^{20,5} : \left(\frac{2}{3}\right)^{20,6} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-0,1} = \left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{10}} = \sqrt[10]{1,5};$
Ответ: $\sqrt[10]{1,5}.$

в)$$$(3^{2,7})^3 \cdot 3^{5,1} = 3^{8,1} \cdot 3^{5,1} = 3^3 = 27;$
Ответ: 27.

г)${}^{}$$\left(\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^5 = \left(\frac{2}{3}\right)^{-6} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^5 = \left(\frac{2}{3}\right)^{-1} = \frac{3}{2} = 1,5;$
Ответ: 1,5.

а)

$$(2^{-3})^2 \cdot 2^5$$

Шаг 1. Применяем правило:

$$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$

Применим к первой части:

$$(2^{-3})^2 = 2^{-3 \cdot 2} = 2^{-6}$$

Шаг 2. Теперь подставим в исходное выражение:

$$2^{-6} \cdot 2^5$$

Шаг 3. Применим правило умножения степеней с одинаковыми основаниями:

$$a^m \cdot a^n = a^{m + n}$$

Подставим:

$$2^{-6 + 5} = 2^{-1}$$

Шаг 4. Отрицательная степень — это обратная величина:

$$2^{-1} = \frac{1}{2}$$

Шаг 5. Переведём в десятичную форму:

$$\frac{1}{2} = 0{,}5$$

Ответ: 0,5.

б)

$$\left( \left( \frac{2}{3} \right)^{4{,}1} \right)^5 : \left( \frac{2}{3} \right)^{20{,}6}$$

Шаг 1. Применим правило:

$$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$ $$\left( \left( \frac{2}{3} \right)^{4{,}1} \right)^5 = \left( \frac{2}{3} \right)^{4{,}1 \cdot 5} = \left( \frac{2}{3} \right)^{20{,}5}$$

Шаг 2. Деление степеней с одинаковым основанием:

$$a^m : a^n = a^{m — n}$$ $$\left( \frac{2}{3} \right)^{20{,}5} : \left( \frac{2}{3} \right)^{20{,}6} = \left( \frac{2}{3} \right)^{20{,}5 — 20{,}6} = \left( \frac{2}{3} \right)^{-0{,}1}$$

Шаг 3. Отрицательная степень:

$$\left( \frac{2}{3} \right)^{-0{,}1} = \left( \frac{3}{2} \right)^{0{,}1}$$

Шаг 4. Десятичная степень $0{,}1 = \frac{1}{10}$, значит:

$$\left( \frac{3}{2} \right)^{\frac{1}{10}} = \sqrt[10]{\frac{3}{2}} = \sqrt[10]{1{,}5}$$

Ответ: $\sqrt[10]{1{,}5}$.

в)

$$(3^{2{,}7})^3 \cdot 3^{5{,}1}$$

Шаг 1. Возводим степень в степень:

$$(3^{2{,}7})^3 = 3^{2{,}7 \cdot 3} = 3^{8{,}1}$$

Шаг 2. Подставим:

$$3^{8{,}1} \cdot 3^{5{,}1}$$

Шаг 3. Вычтем показатели:$$3^{8{,}1 + 5{,}1} = 3^{13{,}2}$$

$$3^{8{,}1} \cdot 3^{-5{,}1} = 3^{3} = 27$$

Ответ: 27.

г)

$$\left( \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} \right)^2 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^5$$

Шаг 1. Возводим степень в степень:

$$\left( \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} \right)^2 = \left( \frac{2}{3} \right)^{-6}$$

Шаг 2. Подставим в выражение:

$$\left( \frac{2}{3} \right)^{-6} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^5$$

Шаг 3. Применим правило:

$$a^m \cdot a^n = a^{m + n}$$ $$\left( \frac{2}{3} \right)^{-6 + 5} = \left( \frac{2}{3} \right)^{-1}$$

Шаг 4. Отрицательная степень:

$$\left( \frac{2}{3} \right)^{-1} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}$$

Шаг 5. Преобразуем в десятичную дробь:

$$\frac{3}{2} = 1{,}5$$

Ответ: 1,5.