ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.10 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) ${\left(\frac{\sqrt{10}}{3}\right)}^{3x^2-3}={\mathrm{0,81}}^{-2x}$;

б) ${\left(\frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{3}}\right)}^{x^2+4}={\mathrm{20,25}}^{x+1}$

Решить уравнение:

а) ${\left(\frac{\sqrt{10}}{3}\right)}^{3x^2-3}={\mathrm{0,81}}^{-2x}$;

${\left(\sqrt{\frac{10}{9}}\right)}^{3x^2-3}={\left(\frac{100}{81}\right)}^{2x}$;

${\left(\frac{10}{9}\right)}^{\frac{1}{2}(3x^2-3)}={\left(\frac{10}{9}\right)}^{2\cdot 2x}$;

$\frac{1}{2}(3x^2-3)=4x$;

$3x^2-3=8x$;

$3x^2-8x-3=0$;

$D=8^2+4\cdot 3\cdot 3=64+36=100$, тогда:

$x_1=\frac{8-10}{2\cdot 3}=-\frac{2}{6}=-\frac{1}{3}$;

$x_2=\frac{8+10}{2\cdot 3}=\frac{18}{6}=3$;

Ответ: $-\frac{1}{3};3$.

б) ${\left(\frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{3}}\right)}^{x^2+4}={\mathrm{20,25}}^{x+1}$;

${\left(\sqrt[4]{\frac{2}{9}}\right)}^{x^2+4}={\left(\frac{81}{4}\right)}^{x+1}$;

${\left(\frac{2}{9}\right)}^{\frac{1}{4}(x^2+4)}={\left(\frac{2}{9}\right)}^{-2(x+1)}$;

$\frac{1}{4}(x^2+4)=-2(x+1)$;

$x^2+4=-8(x+1)$;

$x^2+8x+12=0$;

$D=8^2-4\cdot 12=64-48=16$, тогда:

$x_1=\frac{-8-4}{2}=-6$ и $x_2=\frac{-8+4}{2}=-2$;

Ответ: $-6;-2$.

а) ${\left({\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{3}}\right)}^{3x^2-3}={\mathrm{0,81}}^{-2x}$

Шаг 1: Представим обе стороны уравнения с одинаковым основанием.

Левая часть:

$$\left(\frac{\sqrt{10}}{3}\right)=\frac{\sqrt{10}}{3}=\sqrt{\frac{10}{9}}={\left(\frac{10}{9}\right)}^{1\mathrm{/}2}$$

Правая часть:

$$\mathrm{0,81}=\frac{81}{100}={\left(\frac{9}{10}\right)}^2={\left(\frac{10}{9}\right)}^{-2}\Rightarrow {\mathrm{0,81}}^{-2x}={\left({\left(\frac{10}{9}\right)}^{-2}\right)}^{-2x}={\left(\frac{10}{9}\right)}^{4x}$$

Шаг 2: Подставим всё в уравнение:

$${\left({\left(\frac{10}{9}\right)}^{1\mathrm{/}2}\right)}^{3x^2-3}={\left(\frac{10}{9}\right)}^{4x}$$

Шаг 3: Умножаем степени (свойство $(a^m{)}^n=a^{mn}$):

$${\left(\frac{10}{9}\right)}^{\frac{1}{2}(3x^2-3)}={\left(\frac{10}{9}\right)}^{4x}$$

Шаг 4: Основания одинаковые → приравниваем показатели:

$$\frac{1}{2}(3x^2-3)=4x$$

Шаг 5: Умножим обе части на 2:

$$3x^2-3=8x\Rightarrow 3x^2-8x-3=0$$

Шаг 6: Найдём дискриминант:

$$D=(-8{)}^2-4\cdot 3\cdot (-3)=64+36=100$$

Шаг 7: Найдём корни:

$$x_1=\frac{8-10}{2\cdot 3}=\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3},x_2=\frac{8+10}{2\cdot 3}=\frac{18}{6}=3$$

Ответ: $-{\displaystyle \frac{1}{3}};3$

б) ${\left({\displaystyle \frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{3}}}\right)}^{x^2+4}={\mathrm{20,25}}^{x+1}$

Шаг 1: Упростим левую часть:

$$\frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{3}}=\frac{2^{1\mathrm{/}4}}{3^{1\mathrm{/}2}}={\left(\frac{2}{9}\right)}^{1\mathrm{/}4}$$

Шаг 2: Упростим правую часть:

$$\mathrm{20,25}=\frac{81}{4}={\left(\frac{9}{2}\right)}^2={\left(\frac{2}{9}\right)}^{-2}\Rightarrow {\left(\frac{81}{4}\right)}^{x+1}={\left(\frac{2}{9}\right)}^{-2(x+1)}$$

Шаг 3: Подставим упрощённые выражения:

$${\left(\frac{2}{9}\right)}^{\frac{1}{4}(x^2+4)}={\left(\frac{2}{9}\right)}^{-2(x+1)}$$

Шаг 4: Основания одинаковые → приравниваем показатели:

$$\frac{1}{4}(x^2+4)=-2(x+1)$$

Шаг 5: Умножим обе части уравнения на 4:

$$x^2+4=-8(x+1)$$

Шаг 6: Раскроем скобки и перенесем всё в одну сторону:

$$x^2+4=-8x-8\Rightarrow x^2+8x+12=0$$

Шаг 7: Найдём дискриминант:

$$D=8^2-4\cdot 1\cdot 12=64-48=16$$

Шаг 8: Найдём корни:

$$x_1=\frac{-8-4}{2}=-6,x_2=\frac{-8+4}{2}=-2$$

Ответ: $-6;-2$