ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.12 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $27^{\sqrt{x-1}} = \sqrt{9^{x+1}}$;

б) $2^{\sqrt{13 — x^2}} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{32}$;

в) $3^x \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^{\sqrt{x+1}} = 243$;

г) $\left( 0{,}1^{\sqrt{x+1}} \right)^{\sqrt{x+6}} = \frac{1}{10^6}$

Решить уравнение:

а) $27^{\sqrt{x-1}} = \sqrt{9^{x+1}}$;

$(3^3)^{\sqrt{x-1}} = \sqrt{(3^2)^{x+1}}$;

$3^{3\sqrt{x-1}} = 3^{x+1}$;

$3\sqrt{x-1} = x + 1$;

$9(x — 1) = x^2 + 2x + 1$;

$x^2 — 7x + 10 = 0$;

$D = 7^2 — 4 \cdot 10 = 49 — 40 = 9$, тогда:

$x_1 = \frac{7 — 3}{2} = 2$ и $x_2 = \frac{7 + 3}{2} = 5$;

Уравнение имеет решения при:
$x — 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1$;
$x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1$;

Ответ: 2; 5.

б) $2^{\sqrt{13 — x^2}} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{32}$;

$2^{\sqrt{13 — x^2}} = 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{5}{2}}$;

$2^{\sqrt{13 — x^2}} = 2^3$;

$\sqrt{13 — x^2} = 3$;

$13 — x^2 = 9$;

$x^2 = 4$;

$x = \pm \sqrt{4} = \pm 2$;

Ответ: $\pm 2$.

в) $3^x \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^{\sqrt{x+1}} = 243$;

$3^x \cdot 3^{-\sqrt{x+1}} = 3^5$;

$3^{x — \sqrt{x+1}} = 3^5$;

$x — \sqrt{x+1} = 5$;

$\sqrt{x+1} = x — 5$;

$x + 1 = x^2 — 10x + 25$;

$x^2 — 11x + 24 = 0$;

$D = 11^2 — 4 \cdot 24 = 121 — 96 = 25$, тогда:

$x_1 = \frac{11 — 5}{2} = 3$ и $x_2 = \frac{11 + 5}{2} = 8$;

Уравнение имеет решения при:
$x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1$;
$x — 5 \geq 0 \Rightarrow x \geq 5$;

Ответ: 8.

г) $\left( 0{,}1^{\sqrt{x+1}} \right)^{\sqrt{x+6}} = \frac{1}{10^6}$;

$0{,}1^{\sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x+6}} = 0{,}1^6$;

$\sqrt{(x+1)(x+6)} = 6$;

$x^2 + 6x + x + 6 = 36$;

$x^2 + 7x — 30 = 0$;

$D = 7^2 + 4 \cdot 30 = 49 + 120 = 169$, тогда:

$x_1 = \frac{-7 — 13}{2} = -10$ и $x_2 = \frac{-7 + 13}{2} = 3$;

Уравнение имеет решения при:
$x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1$;
$x + 6 \geq 0 \Rightarrow x \geq -6$;

Ответ: 3.

а) $27^{\sqrt{x — 1}} = \sqrt{9^{x + 1}}$

Представим обе стороны с основанием 3:
$27 = 3^3$, $9 = 3^2$

Левая часть:
$27^{\sqrt{x — 1}} = (3^3)^{\sqrt{x — 1}} = 3^{3\sqrt{x — 1}}$

Правая часть:
$\sqrt{9^{x + 1}} = \sqrt{(3^2)^{x + 1}} = \sqrt{3^{2(x + 1)}} = 3^{x + 1}$

Уравнение:
$3^{3\sqrt{x — 1}} = 3^{x + 1} \Rightarrow 3\sqrt{x — 1} = x + 1$

Разделим обе части на 3:
$\sqrt{x — 1} = \frac{x + 1}{3}$

Возведем обе части в квадрат:
$x — 1 = \left( \frac{x + 1}{3} \right)^2 = \frac{(x + 1)^2}{9}$

Умножим обе части на 9:
$9(x — 1) = (x + 1)^2 \Rightarrow 9x — 9 = x^2 + 2x + 1$

Приведем всё к одному виду:
$x^2 — 7x + 10 = 0$

Найдем дискриминант:
$D = (-7)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 — 40 = 9$

Корни:
$x_1 = \frac{7 — 3}{2} = 2$,
$x_2 = \frac{7 + 3}{2} = 5$

ОДЗ:
$x — 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1$,
$x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1$

Оба корня удовлетворяют.

Ответ: $2;\ 5$

б) $2^{\sqrt{13 — x^2}} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{32}$

Упростим правую часть:
$\sqrt{2} = 2^{1/2},\quad \sqrt{32} = \sqrt{2^5} = 2^{5/2}$

Произведение:
$2^{1/2} \cdot 2^{5/2} = 2^{3}$

Получаем:
$2^{\sqrt{13 — x^2}} = 2^3 \Rightarrow \sqrt{13 — x^2} = 3$

Возводим в квадрат:
$13 — x^2 = 9 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$

Ответ: $\pm 2$

в) $3^x \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^{\sqrt{x + 1}} = 243$

$\frac{1}{3} = 3^{-1} \Rightarrow \left( \frac{1}{3} \right)^{\sqrt{x + 1}} = 3^{-\sqrt{x + 1}}$

$243 = 3^5$

Уравнение:
$3^x \cdot 3^{-\sqrt{x + 1}} = 3^5 \Rightarrow 3^{x — \sqrt{x + 1}} = 3^5 \Rightarrow x — \sqrt{x + 1} = 5$

Выразим корень:
$\sqrt{x + 1} = x — 5$

Возведем в квадрат:
$x + 1 = (x — 5)^2 = x^2 — 10x + 25 \Rightarrow x^2 — 11x + 24 = 0$

Найдем дискриминант:
$D = 121 — 96 = 25$

Корни:
$x_1 = \frac{11 — 5}{2} = 3$,
$x_2 = \frac{11 + 5}{2} = 8$

ОДЗ:
$x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1$,
$x — 5 \geq 0 \Rightarrow x \geq 5$

Подходит только $x = 8$

Ответ: $8$

г) $\left( 0{,}1^{\sqrt{x + 1}} \right)^{\sqrt{x + 6}} = \frac{1}{10^6}$

Левая часть:
$0{,}1^{\sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x + 6}}$

Правая часть:
$\frac{1}{10^6} = 0{,}1^6$

Получаем:
$0{,}1^{\sqrt{(x + 1)(x + 6)}} = 0{,}1^6 \Rightarrow \sqrt{(x + 1)(x + 6)} = 6$

Возводим в квадрат:
$(x + 1)(x + 6) = 36 \Rightarrow x^2 + 7x + 6 = 36 \Rightarrow x^2 + 7x — 30 = 0$

Найдем дискриминант:
$D = 49 + 120 = 169$

Корни:
$x_1 = \frac{-7 — 13}{2} = -10$,
$x_2 = \frac{-7 + 13}{2} = 3$

ОДЗ:
$x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1$,
$x + 6 \geq 0 \Rightarrow x \geq -6$

Подходит только $x = 3$

Ответ: $3$