ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.13 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $3^x — 3^{x+3} = -78$;

б) $5^{2x-1} — 5^{2x-3} = 4,8$;

в) $2 \cdot \left( \frac{1}{7} \right)^{3x+7} — 7 \cdot \left( \frac{1}{7} \right)^{3x+8} = 49$;

г) $\left( \frac{1}{3} \right)^{5x-1} + \left( \frac{1}{3} \right)^{5x} = \frac{4}{9}$

Решить уравнение:

а) $3^x — 3^{x+3} = -78$;
$3^x \cdot (1 — 3^3) = -78$;
$3^x \cdot (1 — 27) = -78$;
$3^x \cdot (-26) = -78$;
$3^x = 3$;
$x = 1$;
Ответ: 1.

б) $5^{2x-1} — 5^{2x-3} = 4,8$;
$5^{2x} \cdot (5^{-1} — 5^{-3}) = \frac{48}{10}$;
$5^{2x} \cdot \left( \frac{1}{5} — \frac{1}{125} \right) = \frac{24}{5}$;
$5^{2x} \cdot \frac{24}{125} = \frac{24}{5}$;
$5^{2x} = 25$;
$5^{2x} = 5^2$;
$2x = 2$;
$x = 1$;
Ответ: 1.

в) $2 \cdot \left( \frac{1}{7} \right)^{3x+7} — 7 \cdot \left( \frac{1}{7} \right)^{3x+8} = 49$;
$\left( \frac{1}{7} \right)^{3x+7} \cdot \left( 2 — 7 \cdot \frac{1}{7} \right) = 49$;
$\left( \frac{1}{7} \right)^{3x+7} \cdot (2 — 1) = 7^2$;
$\left( \frac{1}{7} \right)^{3x+7} = \left( \frac{1}{7} \right)^{-2}$;
$3x + 7 = -2$;
$3x = -9$;
$x = -3$;
Ответ: -3.

г) $\left( \frac{1}{3} \right)^{5x-1} + \left( \frac{1}{3} \right)^{5x} = \frac{4}{9}$;
$\left( \frac{1}{3} \right)^{5x} \cdot \left( \left( \frac{1}{3} \right)^{-1} + 1 \right) = \frac{4}{9}$;
$\left( \frac{1}{3} \right)^{5x} \cdot (3 + 1) = \frac{4}{9}$;
$\left( \frac{1}{3} \right)^{5x} \cdot 4 = \frac{4}{3^2}$;
$\left( \frac{1}{3} \right)^{5x} = \left( \frac{1}{3} \right)^2$;
$5x = 2$;
$x = 0,4$;
Ответ: 0,4.

а) $3^x — 3^{x+3} = -78$

Шаг 1. Вынесем $3^x$ как общий множитель

$$3^x — 3^{x+3} = 3^x — 3^x \cdot 3^3 = 3^x (1 — 27)$$

Шаг 2. Упростим выражение

$$3^x (1 — 27) = 3^x \cdot (-26)$$

Шаг 3. Приравняем к правой части

$$3^x \cdot (-26) = -78 \Rightarrow 3^x = \frac{-78}{-26} = 3$$

Шаг 4. Переведем правую часть к степени числа 3

$$3^x = 3^1 \Rightarrow x = 1$$

Ответ: 1

б) $5^{2x — 1} — 5^{2x — 3} = 4{,}8$

Шаг 1. Вынесем $5^{2x}$ за скобку

$$5^{2x — 1} = 5^{2x} \cdot 5^{-1},\quad 5^{2x — 3} = 5^{2x} \cdot 5^{-3}$$ $$5^{2x — 1} — 5^{2x — 3} = 5^{2x} (5^{-1} — 5^{-3})$$

Шаг 2. Переведем правую часть

$$4{,}8 = \frac{48}{10} = \frac{24}{5}$$

Шаг 3. Подставим и упростим

$$5^{-1} = \frac{1}{5},\quad 5^{-3} = \frac{1}{125} \Rightarrow 5^{2x} \left( \frac{1}{5} — \frac{1}{125} \right) = \frac{24}{5}$$ $$\frac{1}{5} — \frac{1}{125} = \frac{25 — 1}{125} = \frac{24}{125} \Rightarrow 5^{2x} \cdot \frac{24}{125} = \frac{24}{5}$$

Шаг 4. Умножим обе части на 125

$$5^{2x} \cdot 24 = \frac{24 \cdot 125}{5} = 24 \cdot 25 = 600 \Rightarrow 5^{2x} = \frac{600}{24} = 25$$

Шаг 5. Представим 25 как степень числа 5

$$25 = 5^2 \Rightarrow 5^{2x} = 5^2 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1$$

Ответ: 1

в) $2 \cdot \left( \frac{1}{7} \right)^{3x+7} — 7 \cdot \left( \frac{1}{7} \right)^{3x+8} = 49$

Шаг 1. Вынесем $\left( \frac{1}{7} \right)^{3x+7}$ за скобку

$$= \left( \frac{1}{7} \right)^{3x+7} \cdot \left( 2 — 7 \cdot \frac{1}{7} \right) \Rightarrow \left( \frac{1}{7} \right)^{3x+7} \cdot (2 — 1) = \left( \frac{1}{7} \right)^{3x+7}$$ $$\left( \frac{1}{7} \right)^{3x+7} = 49 = 7^2 = \left( \frac{1}{7} \right)^{-2}$$

Шаг 2. Приравняем показатели

$$3x + 7 = -2 \Rightarrow 3x = -9 \Rightarrow x = -3$$

Ответ: -3

г) $\left( \frac{1}{3} \right)^{5x — 1} + \left( \frac{1}{3} \right)^{5x} = \frac{4}{9}$

Шаг 1. Вынесем $\left( \frac{1}{3} \right)^{5x}$ за скобку

$$= \left( \frac{1}{3} \right)^{5x} \cdot \left( \left( \frac{1}{3} \right)^{-1} + 1 \right) \Rightarrow \left( \frac{1}{3} \right)^{5x} \cdot (3 + 1) = \left( \frac{1}{3} \right)^{5x} \cdot 4$$ $$\left( \frac{1}{3} \right)^{5x} \cdot 4 = \frac{4}{9} \Rightarrow \left( \frac{1}{3} \right)^{5x} = \frac{4}{9} \div 4 = \frac{1}{9} = \left( \frac{1}{3} \right)^2$$

Шаг 2. Приравняем показатели

$$5x = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{5} = 0{,}4$$

Ответ: 0,4