ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.16 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить уравнение:

а) $4\cdot {\left(\frac{1}{16}\right)}^x-17\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^x+4=0$
$4\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^{2x}-17\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^x+4=0$

Пусть $y={\left(\frac{1}{4}\right)}^x$, тогда:
$4y^2-17y+4=0$
$D={17}^2-4\cdot 4\cdot 4=289-64=225$, тогда:
$y_1=\frac{17-15}{2\cdot 4}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$
$y_2=\frac{17+15}{2\cdot 4}=\frac{32}{8}=4$

Первое значение:
${\left(\frac{1}{4}\right)}^x=\frac{1}{4}$
$x=1$

Второе значение:
${\left(\frac{1}{4}\right)}^x=4$
$x=-1$

Ответ: $\pm 1$

б) ${\mathrm{0,01}}^x+\mathrm{9,9}\cdot (\mathrm{0,1}{)}^x-1=0$
$(\mathrm{0,1}{)}^{2x}+\mathrm{9,9}\cdot (\mathrm{0,1}{)}^x-1=0$

Пусть $y=(\mathrm{0,1}{)}^x$, тогда:
$y^2+\mathrm{9,9}y-1=0$
$10y^2+99y-10=0$
$D={99}^2+4\cdot 10\cdot 10=9801+400=10201$, тогда:
$y_1=\frac{-99-101}{2\cdot 10}=\frac{-200}{20}=-10$
$y_2=\frac{-99+101}{2\cdot 10}=\frac{2}{20}=\mathrm{0,1}$

Первое значение:
${\mathrm{0,1}}^x=-10$
$x\in \mathrm{\varnothing }$

Второе значение:
${\mathrm{0,1}}^x=\mathrm{0,1}$
$x=1$

Ответ: 1

в) $3\cdot {\left(\frac{4}{9}\right)}^x+7\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^x-6=0$
$3\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^{2x}+7\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^x-6=0$

Пусть $y={\left(\frac{2}{3}\right)}^x$, тогда:
$3y^2+7y-6=0$
$D=7^2+4\cdot 3\cdot 6=49+72=121$, тогда:
$y_1=\frac{-7-11}{2\cdot 3}=\frac{-18}{6}=-3$
$y_2=\frac{-7+11}{2\cdot 3}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

Первое значение:
${\left(\frac{2}{3}\right)}^x=-3$
$x\in \mathrm{\varnothing }$

Второе значение:
${\left(\frac{2}{3}\right)}^x=\frac{2}{3}$
$x=1$

Ответ: 1

г) $5\cdot {\left(\frac{4}{25}\right)}^x+23\cdot {\left(\frac{2}{5}\right)}^x-10=0$
$5\cdot {\left(\frac{2}{5}\right)}^{2x}+23\cdot {\left(\frac{2}{5}\right)}^x-10=0$

Пусть $y={\left(\frac{2}{5}\right)}^x$, тогда:
$5y^2+23y-10=0$
$D={23}^2+4\cdot 5\cdot 10=529+200=729$, тогда:
$y_1=\frac{-23-27}{2\cdot 5}=\frac{-50}{10}=-5$
$y_2=\frac{-23+27}{2\cdot 5}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$

Первое значение:
${\left(\frac{2}{5}\right)}^x=-5$
$x\in \mathrm{\varnothing }$

Второе значение:
${\left(\frac{2}{5}\right)}^x=\frac{2}{5}$
$x=1$

Ответ: 1

а)

Дано уравнение:

$$4\cdot {\left(\frac{1}{16}\right)}^x-17\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^x+4=0$$

Шаг 1: Преобразуем $\frac{1}{16}$ как ${\left(\frac{1}{4}\right)}^2$:

$${\left(\frac{1}{16}\right)}^x={\left({\left(\frac{1}{4}\right)}^2\right)}^x={\left(\frac{1}{4}\right)}^{2x}$$

Шаг 2: Подставим это в уравнение:

$$4\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^{2x}-17\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^x+4=0$$

Шаг 3: Заменим $y={\left(\frac{1}{4}\right)}^x$, тогда $y^2={\left(\frac{1}{4}\right)}^{2x}$:

$$4y^2-17y+4=0$$

Шаг 4: Найдём дискриминант:

$$D=(-17{)}^2-4\cdot 4\cdot 4=289-64=225$$

Шаг 5: Найдём корни квадратного уравнения:

$$y_1=\frac{17-15}{8}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4},y_2=\frac{17+15}{8}=\frac{32}{8}=4$$

Шаг 6: Вернёмся к переменной $x$:

• ${\left(\frac{1}{4}\right)}^x=\frac{1}{4}\Rightarrow x=1$
• ${\left(\frac{1}{4}\right)}^x=4\Rightarrow {\left(\frac{1}{4}\right)}^x={\left(\frac{1}{4}\right)}^{-1}\Rightarrow x=-1$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \pm 1}}$$

б)

Дано уравнение:

$${\mathrm{0,01}}^x+\mathrm{9,9}\cdot (\mathrm{0,1}{)}^x-1=0$$

Шаг 1: Преобразуем $\mathrm{0,01}$ как $(\mathrm{0,1}{)}^2$:

$${\mathrm{0,01}}^x=(\mathrm{0,1}{)}^{2x}$$

Шаг 2: Подставим в уравнение:

$$(\mathrm{0,1}{)}^{2x}+\mathrm{9,9}\cdot (\mathrm{0,1}{)}^x-1=0$$

Шаг 3: Сделаем замену $y=(\mathrm{0,1}{)}^x\Rightarrow y^2=(\mathrm{0,1}{)}^{2x}$:

$$y^2+\mathrm{9,9}y-1=0$$

Шаг 4: Умножим на 10 для удобства:

$$10y^2+99y-10=0$$

Шаг 5: Найдём дискриминант:

$$D={99}^2+4\cdot 10\cdot 10=9801+400=10201$$

Шаг 6: Найдём корни:

$$y_1=\frac{-99-101}{20}=\frac{-200}{20}=-10,y_2=\frac{-99+101}{20}=\frac{2}{20}=\mathrm{0,1}$$

Шаг 7: Возвращаемся к $x$:

• $(\mathrm{0,1}{)}^x=-10\Rightarrow \text{не имеет смысла, так как основание > 0}\Rightarrow \text{нет решений}$
• $(\mathrm{0,1}{)}^x=\mathrm{0,1}=(\mathrm{0,1}{)}^1\Rightarrow x=1$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle 1}}$$

в)

Дано уравнение:

$$3\cdot {\left(\frac{4}{9}\right)}^x+7\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^x-6=0$$

Шаг 1: $\frac{4}{9}={\left(\frac{2}{3}\right)}^2\Rightarrow {\left(\frac{4}{9}\right)}^x={\left(\frac{2}{3}\right)}^{2x}$

Шаг 2: Подставим:

$$3\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^{2x}+7\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^x-6=0$$

Шаг 3: Замена: $y={\left(\frac{2}{3}\right)}^x$, тогда $y^2={\left(\frac{2}{3}\right)}^{2x}$:

$$3y^2+7y-6=0$$

Шаг 4: Дискриминант:

$$D=7^2+4\cdot 3\cdot 6=49+72=121$$

Шаг 5: Корни:

$$y_1=\frac{-7-11}{6}=-3,y_2=\frac{-7+11}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$

Шаг 6: Возвращаемся к $x$:

• ${\left(\frac{2}{3}\right)}^x=-3\Rightarrow \text{нет решений (нельзя получить отрицательное значение)}$
• ${\left(\frac{2}{3}\right)}^x=\frac{2}{3}\Rightarrow x=1$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle 1}}$$

г)

Дано уравнение:

$$5\cdot {\left(\frac{4}{25}\right)}^x+23\cdot {\left(\frac{2}{5}\right)}^x-10=0$$

Шаг 1: $\frac{4}{25}={\left(\frac{2}{5}\right)}^2\Rightarrow {\left(\frac{4}{25}\right)}^x={\left(\frac{2}{5}\right)}^{2x}$

Шаг 2: Подставим:

$$5\cdot {\left(\frac{2}{5}\right)}^{2x}+23\cdot {\left(\frac{2}{5}\right)}^x-10=0$$

Шаг 3: Замена: $y={\left(\frac{2}{5}\right)}^x$, тогда $y^2={\left(\frac{2}{5}\right)}^{2x}$:

$$5y^2+23y-10=0$$

Шаг 4: Дискриминант:

$$D={23}^2+4\cdot 5\cdot 10=529+200=729$$

Шаг 5: Корни:

$$y_1=\frac{-23-27}{10}=\frac{-50}{10}=-5,y_2=\frac{-23+27}{10}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$$

Шаг 6: Возвращаемся к $x$:

• ${\left(\frac{2}{5}\right)}^x=-5\Rightarrow \text{нет решений }$
• ${\left(\frac{2}{5}\right)}^x=\frac{2}{5}\Rightarrow x=1$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle 1}}$$

Итоговые ответы:

а) $\boxed{{\displaystyle \pm 1}}$
б) $\boxed{{\displaystyle 1}}$
в) $\boxed{{\displaystyle 1}}$
г) $\boxed{{\displaystyle 1}}$