ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.17 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $2^{2x+1} — 5 \cdot 2^x — 88 = 0$;

б) $\left(\frac{1}{2}\right)^{2x} — \left(\frac{1}{2}\right)^{x-2} — 32 = 0$;

в) $5^{2x+1} — 26 \cdot 5^x + 5 = 0$;

г) $\left(\frac{1}{3}\right)^{2x} + \left(\frac{1}{3}\right)^{x-2} — 162 = 0$

Решить уравнение:

а) $2^{2x+1} — 5 \cdot 2^x — 88 = 0$;
$2 \cdot 2^{2x} — 5 \cdot 2^x — 88 = 0$;

Пусть $y = 2^x$, тогда:
$2y^2 — 5y — 88 = 0$;
$D = 5^2 + 4 \cdot 2 \cdot 88 = 25 + 704 = 729$, тогда:
$y_1 = \frac{5 — 27}{2 \cdot 2} = -\frac{22}{4} = -5,5$;
$y_2 = \frac{5 + 27}{2 \cdot 2} = \frac{32}{4} = 8$;

Первое значение:
$2^x = -5,5$;
$x \in \varnothing$;

Второе значение:
$2^x = 8$;
$x = 3$;

Ответ: 3.

б) $\left(\frac{1}{2}\right)^{2x} — \left(\frac{1}{2}\right)^{x-2} — 32 = 0$;
$\left(\frac{1}{2}\right)^{2x} — \left(\frac{1}{2}\right)^x \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} — 32 = 0$;

Пусть $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$, тогда:
$y^2 — 4y — 32 = 0$;
$D = 4^2 + 4 \cdot 32 = 16 + 128 = 144$, тогда:
$y_1 = \frac{4 — 12}{2} = -4$ и $y_2 = \frac{4 + 12}{2} = 8$;

Первое значение:
$\left(\frac{1}{2}\right)^x = -4$;
$x \in \varnothing$;

Второе значение:
$\left(\frac{1}{2}\right)^x = 8$;
$2^{-x} = 2^3$;
$x = -3$;

Ответ: $-3$.

в) $5^{2x+1} — 26 \cdot 5^x + 5 = 0$;
$5 \cdot 5^{2x} — 26 \cdot 5^x + 5 = 0$;

Пусть $y = 5^x$, тогда:
$5y^2 — 26y + 5 = 0$;
$D = 26^2 — 4 \cdot 5 \cdot 5 = 676 — 100 = 576$, тогда:
$y_1 = \frac{26 — 24}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$;
$y_2 = \frac{26 + 24}{2 \cdot 5} = \frac{50}{10} = 5$;

Первое значение:
$5^x = \frac{1}{5}$;
$x = -1$;

Второе значение:
$5^x = 5$;
$x = 1$;

Ответ: $\pm 1$.

г) $\left(\frac{1}{3}\right)^{2x} + \left(\frac{1}{3}\right)^{x-2} — 162 = 0$;
$\left(\frac{1}{3}\right)^{2x} + \left(\frac{1}{3}\right)^x \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} — 162 = 0$;

Пусть $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$, тогда:
$y^2 + 9y — 162 = 0$;
$D = 9^2 + 4 \cdot 162 = 81 + 648 = 729$, тогда:
$y_1 = \frac{-9 — 27}{2} = -18$ и $y_2 = \frac{-9 + 27}{2} = 9$;

Первое значение:
$\left(\frac{1}{3}\right)^x = -18$;
$x \in \varnothing$;

Второе значение:
$\left(\frac{1}{3}\right)^x = 9$;
$3^{-x} = 3^2$;
$x = -2$;

Ответ: $-2$.

а) Решим уравнение:
$2^{2x+1} — 5 \cdot 2^x — 88 = 0$

Преобразуем первое слагаемое:
$2^{2x+1} = 2 \cdot 2^{2x}$

Получаем уравнение:
$2 \cdot 2^{2x} — 5 \cdot 2^x — 88 = 0$

Введём замену:
$y = 2^x$, тогда $2y^2 — 5y — 88 = 0$

Найдём дискриминант:
$D = (-5)^2 + 4 \cdot 2 \cdot 88 = 25 + 704 = 729$

Найдём корни:
$y_1 = \frac{5 — \sqrt{729}}{4} = \frac{5 — 27}{4} = -5.5$
$y_2 = \frac{5 + \sqrt{729}}{4} = \frac{5 + 27}{4} = 8$

Первый корень не подходит, т.к. $y = 2^x > 0$

Подставим второй корень:
$2^x = 8 \Rightarrow x = \log_2 8 = 3$

Ответ: $x = 3$

б) Решим уравнение:
$\left( \frac{1}{2} \right)^{2x} — \left( \frac{1}{2} \right)^{x-2} — 32 = 0$

Разложим второе слагаемое:
$\left( \frac{1}{2} \right)^{x-2} = \left( \frac{1}{2} \right)^x \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{-2} = 4 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^x$

Получаем уравнение:
$\left( \frac{1}{2} \right)^{2x} — 4 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^x — 32 = 0$

Вводим замену:
$y = \left( \frac{1}{2} \right)^x \Rightarrow y^2 — 4y — 32 = 0$

Дискриминант:
$D = (-4)^2 + 4 \cdot 1 \cdot 32 = 16 + 128 = 144$

Корни:
$y_1 = \frac{4 — \sqrt{144}}{2} = -4$
$y_2 = \frac{4 + \sqrt{144}}{2} = 8$

Первый корень отбрасываем: $y > 0$

Подставим второй:
$\left( \frac{1}{2} \right)^x = 8 \Rightarrow 2^{-x} = 2^3 \Rightarrow x = -3$

Ответ: $x = -3$

в) Решим уравнение:
$5^{2x+1} — 26 \cdot 5^x + 5 = 0$

Перепишем первое слагаемое:
$5^{2x+1} = 5 \cdot 5^{2x}$

Получаем:
$5 \cdot 5^{2x} — 26 \cdot 5^x + 5 = 0$

Вводим замену:
$y = 5^x \Rightarrow 5y^2 — 26y + 5 = 0$

Дискриминант:
$D = 26^2 — 4 \cdot 5 \cdot 5 = 676 — 100 = 576$

Корни:
$y_1 = \frac{26 — \sqrt{576}}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
$y_2 = \frac{26 + \sqrt{576}}{10} = \frac{50}{10} = 5$

Первый:
$5^x = \frac{1}{5} \Rightarrow x = -1$

Второй:
$5^x = 5 \Rightarrow x = 1$

Ответ: $x = \pm 1$

г) Решим уравнение:
$\left( \frac{1}{3} \right)^{2x} + \left( \frac{1}{3} \right)^{x-2} — 162 = 0$

Разложим второе слагаемое:
$\left( \frac{1}{3} \right)^{x-2} = \left( \frac{1}{3} \right)^x \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^{-2} = 9 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^x$

Получаем:
$\left( \frac{1}{3} \right)^{2x} + 9 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^x — 162 = 0$

Вводим замену:
$y = \left( \frac{1}{3} \right)^x \Rightarrow y^2 + 9y — 162 = 0$

Дискриминант:
$D = 9^2 + 4 \cdot 1 \cdot 162 = 81 + 648 = 729$

Корни:
$y_1 = \frac{-9 — \sqrt{729}}{2} = -18$
$y_2 = \frac{-9 + \sqrt{729}}{2} = 9$

Первый — не подходит: $y > 0$

Второй:
$\left( \frac{1}{3} \right)^x = 9 \Rightarrow 3^{-x} = 3^2 \Rightarrow x = -2$

Ответ: $x = -2$

Итоговые ответы:

а) $x = 3$

б) $x = -3$

в) $x = -1; 1$

г) $x = -2$